Kelas 8 adalah tahun yang ditandai dengan pergeseran fokus matematika. Di mana kelas 6 dan 7 memperkenalkan siswa pada bilangan negatif dan menggunakannya dalam operasi, kelas 8 memperkenalkan mereka pada bilangan irasional dan menggunakannya dengan Teorema Pythagoras. Di mana kelas 6 dan 7 menggali statistik satu variabel, kelas 8 memulai pekerjaan dengan statistik dua variabel. Dan di mana kelas 6 dan 7 menekankan rasio dan hubungan proporsional, kelas 8 mengalihkan perhatiannya ke fungsi, terutama yang linier. Untuk pergeseran terakhir ini, pertanyaannya menjadi bagaimana Anda beralih dari fondasi dalam hubungan proporsional ke pemahaman tentang semua jenis hubungan linier? Nah, Anda mulai dengan geometri.
Geometri Garis
Jadi mari kita fokus pada garis sedikit dari perspektif geometris. Garis yang digambar pada bidang koordinat memiliki ciri-ciri yang dapat digunakan siswa untuk menggambarkannya, termasuk kemiringannya. Dari kiri ke kanan apa yang terjadi dengan garis itu? Bisakah perubahan itu diukur? Siswa yang menggunakan Matematika IM 6–8 diposisikan untuk memeriksa pertanyaan-pertanyaan ini secara kritis dengan memulai tahun dengan keselarasan dan kesamaan. Studi tentang segitiga serupa—segitiga lereng—membangun ide dasar tentang kemiringan.
(https://curriculum.illustrativemathematics.org/MS/teachers/3/2/10/index.html)
Untuk garis diagonal yang ditunjukkan di sini, jika satu siswa mengambil dua titik dan membuat segitiga lereng dan yang lain mengambil dua titik dan membuat segitiga lereng, mereka akan mendapatkan segitiga yang sebangun. Bagaimana mereka tahu mereka mirip? Nah, mereka dapat menarik dari pemikiran sebelumnya, dikembangkan di Unit 1 dan paruh pertama Unit 2, dan menggunakan urutan transformasi kaku dan dilatasi. Atau mereka dapat mengatakan bahwa karena segitiga memiliki dua pasang sudut yang kongruen maka mereka harus serupa. Terlepas dari bagaimana siswa menentukan kesamaan segitiga, mereka dapat menyimpulkan bahwa panjang vertikal dibagi dengan panjang horizontal untuk setiap segitiga kemiringan garis memiliki nilai yang sama dan nilai ini adalah cara untuk mengukur kemiringan garis. (Dan dengan melakukan vertikal dibagi dengan horizontal, mereka mendapatkan angka yang semakin besar untuk garis yang terlihat lebih curam, yang bagus.)
Setelah metode untuk menghitung kemiringan garis ditetapkan, siswa memperoleh cara untuk menulis persamaan garis berdasarkan perhitungan ini.
(https://curriculum.illustrativemathematics.org/MS/teachers/3/2/11/preparation.html)
Kemiringan garis yang ditunjukkan di sini adalah $\frac{1}{3}$. Karena kemiringan antara dua titik pada garis adalah sama, kita juga dapat mengatakan bahwa untuk titik $(1,1)$ dan $(x,y)$ nilai panjang vertikal, $y-1$, dibagi dengan panjang horizontal, $x-1$, harus sama dengan $\frac{1}{3}$. Yaitu, $\frac{y-1}{x-1}=\frac{1}{3}$. Dari hasil bagi panjang sisi segitiga sebangun, kita dapat membuat persamaan dan menggunakannya sebagai titik-tester. Jika suatu titik membuat persamaan menjadi benar, maka titik tersebut harus berada pada garis.
Semua ini berarti bahwa siswa memulai Unit 3: Hubungan Linier dengan pemahaman geometris yang kuat tentang kemiringan garis yang dibangun dari pekerjaan dengan segitiga kemiringan. Tetapi tidak semua potongan ada untuk dapat digeneralisasi ke semua hubungan linier: kemiringan hanya positif sejauh ini, dan hubungan linier hanya proporsional. Hubungan antara laju perubahan, kemiringan, dan konstanta proporsionalitas masih perlu dibuat.
Dari Kepik dan Semut hingga Cangkir Susun
Untuk membantu siswa membuat hubungan antara laju perubahan, kemiringan, dan konstanta proporsionalitas, mari kembali ke konteks dan mulai dari hubungan proporsional yang lebih akrab. Unit dimulai dengan meminta siswa memperhatikan ketepatan saat mereka memberi label sumbu, memilih skala sumbu yang sesuai, dan membandingkan hubungan proporsional, seperti kepik dan semut yang memulai pada waktu yang sama tetapi bergerak dengan kecepatan yang berbeda, seperti yang ditunjukkan di sini.
(https://curriculum.illustrativemathematics.org/MS/teachers/3/3/1/index.html)
Di kelas 7, siswa menghubungkan konstanta proporsionalitas dengan kecuraman grafik hubungan proporsional. Sekarang, mereka mengubah fokus dari konstanta proporsionalitas ke laju perubahan, yaitu tentang bagaimana output berubah pada laju konstan sehubungan dengan input. Mereka juga berlatih mengidentifikasi laju perubahan dalam grafik, tabel, persamaan, dan konteks untuk hubungan proporsional yang berbeda.
Untuk membantu siswa mengambil langkah berikutnya menuju bekerja dengan hubungan linier non-proporsional di bagian kedua unit, mereka mulai dengan menumpuk cangkir.
(https://curriculum.illustrativemathematics.org/MS/teachers/3/3/5/index.html)
Susun cangkir memiliki dua variabel bagi siswa untuk melacak: jumlah cangkir dan tinggi tumpukan. Konteksnya dimaksudkan untuk menjadi lugas sehingga siswa dapat beralih dengan lancar antara situasi konkret dan perhitungan abstrak untuk laju perubahan dan menghubungkan keduanya. Di sini tingkat perubahan memiliki arti yang nyata: tambahkan 1 cangkir ke tumpukan, tingkatkan tinggi tumpukan dengan jumlah yang tetap. Tambahkan 2 cangkir, tingkatkan tinggi dua kali lipat jumlah yang tetap. Memplot pasangan (jumlah cangkir dalam tumpukan, tinggi tumpukan dalam sentimeter) menghasilkan serangkaian titik yang dapat dilalui oleh satu garis lurus. Hubungan antara kemiringan garis, laju perubahan, dan konteks dibuat. Inti Unit 3 adalah menetapkan bahwa ada hubungan linier non-proporsional, bahwa mereka dapat digambarkan sebagai garis dengan kemiringan terkait, bahwa mereka memiliki tingkat perubahan seperti hubungan proporsional dari kelas 6 dan 7, dan bahwa nilainya kemiringan sama dengan nilai laju perubahan.
Poin terakhir ini adalah sesuatu yang luar biasa. Hubungan antara hasil bagi sisi segitiga dan perubahan output dibagi dengan perubahan input. Apakah siswa berpikir geometris untuk menghitung kemiringan garis atau aljabar untuk menghitung laju perubahan, mereka akan mendapatkan nilai yang sama.
Pelajaran berikutnya menawarkan cara kedua untuk mendekati hubungan linier dengan mengungkapkan keteraturan dalam perhitungan berulang. Siswa mulai dengan menghubungkan satu set grafik ke konteks yang cocok sambil memperhatikan arti dari intersep vertikal dan nilai kemiringan (Pelajaran 6, Kegiatan 2). Hanya setelah pemikiran ini siswa mempertimbangkan bagaimana menambahkan objek identik satu demi satu ke silinder berisi air dengan ketinggian awal yang diketahui dapat direpresentasikan dengan persamaan. Di sinilah bentuk $y = mx + b$ diperkenalkan dengan $m$ sebagai tingkat perubahan dan $b$ sebagai jumlah awal.
Tapi jangan lupa di mana semua ini dimulai: geometri. Cara ketiga siswa mengkonseptualisasikan hubungan linier adalah melalui transformasi. Menelepon kembali ke Unit 1, setiap garis pada bidang dapat dianggap sebagai translasi vertikal dari sebuah garis yang melalui titik asal. Pekerjaan ini terjadi melalui konteks, secara visual dengan grafik, dan dalam memikirkan perbedaan antara persamaan $y = mx$ dan $y = mx + b$.
Memperbaiki Pemikiran: Menghitung Kemiringan dan Solusi Persamaan Linier
Mengakhiri unit, siswa mengambil langkah pertama mereka untuk bekerja dengan konteks yang memiliki tingkat perubahan negatif, yang pada gilirannya mengarah pada penyempurnaan cara menghitung kemiringan. Mereka juga mempertimbangkan apa yang terjadi ketika salah satu dari dua variabel tidak bervariasi sementara yang lain dapat mengambil nilai apa pun, yang mengarah ke garis vertikal dan horizontal. Pelajaran terakhir dari unit ini melanjutkan pekerjaan menghubungkan konteks dan persamaannya sambil dengan sengaja memikirkan apa artinya suatu titik menjadi solusi persamaan. Karya ini membangun fondasi yang kuat untuk unit selanjutnya pada sistem persamaan, fungsi, dan pemodelan sebar plot dengan garis fit.
Langkah selanjutnya
Membuka rentang penuh hubungan linier membuka banyak jalan studi untuk masa depan, paling tidak di antaranya adalah bahwa sistem persamaan di Unit 4 jauh lebih menarik bila Anda memiliki lebih dari sekadar hubungan proporsional untuk dipertimbangkan. Di mana lagi Anda bisa melihat karya unit ini dimainkan? Secara khusus, bagaimana pekerjaan di Unit 3 membuat hubungan antara beberapa representasi dengan alasan tentang hubungan linier mengatur siswa untuk sukses ketika mereka bernalar tentang fungsi linier di Unit 5?
Elisa Smith
Spesialis Kurikulum
pada
Matematika Ilustratif
Elisa Smith adalah Spesialis Kurikulum di Matematika Ilustratif. Sebelum bergabung dengan tim IM, Elisa menghabiskan 21 tahun mengajar matematika SD, SMP, dan SMA, serta memberikan pengembangan profesional kepada guru sekolah menengah di semua mata pelajaran. Dia memperoleh Sertifikasi Dewan Nasional di bidang Matematika dan sejak itu memperbarui sertifikasi itu dan memimpin kelompok guru lain yang mencari sertifikasi. Baru-baru ini dia bekerja dengan Departemen Pendidikan Louisiana sebagai penulis di Program Bimbingan Belajar Matematika mereka dan juga muncul di Penyiaran Umum Louisiana mengajar beberapa pelajaran Aljabar 1 IM. Elisa dan keluarganya saat ini tinggal di Baton Rouge, LA.
Ashli Hitam
Ashli mulai mengajar lebih dari 10 tahun yang lalu di Negara Bagian Washington. Pada tahun 2011 ia dinobatkan sebagai Guru Tahun Ini di sekolahnya dan memperoleh Sertifikasi Dewan Nasional dalam matematika pada musim gugur berikutnya. 2011 juga merupakan tahun dia mulai bekerja untuk Matematika Ilustratif menjalankan media sosial dan membantu mendapatkan lebih banyak tugas yang dipublikasikan di situs web. Ashli telah mempresentasikan di konferensi NCTM regional dan nasional tentang kolaborasi guru, Math-Twitter-Blogo-Sphere (MTBoS), dan menciptakan ruang di kelas bagi siswa untuk mengejutkan Anda. Dia adalah alumni Institut Matematika Park City (2010-2015) sebagai peserta dan staf dan telah memfasilitasi pengembangan profesional di seluruh AS dalam matematika kelas menengah dan kolaborasi profesional guru. pada tahun 2015 dia mulai bekerja untuk Matematika Ilustratif penuh waktu pada kurikulum 6-8 di mana dia adalah Pemimpin Kelas 8.