Alun-alun Poincare dan Gomoku Tanpa Batas

by

Hello, Selamat datang di wikitanic.com.

Model cakram hiperbolik Poincare.

Henri Poincar’e ahli dalam menyajikan konsep dan ide ilmiah dengan cara yang mudah diakses. Untuk menjelaskan bahwa Alam Semesta mungkin terbatas namun tak terbatas, dia membayangkan suhu ruang menurun dari pusat ke pinggiran sedemikian rupa sehingga segala sesuatu berkontraksi dengan jarak dari pusat. Saat para pelancong bergerak keluar dari pusat, semuanya menjadi lebih kecil sedemikian rupa sehingga membutuhkan waktu yang tidak terbatas untuk mencapai batas.

Poincar’e menggambarkan model geometris yang indah dengan beberapa sifat menarik. Dia membayangkan piringan melingkar di bidang Euclidean, di mana jarak terdistorsi untuk memberikan sifat geometris yang sangat berbeda dari milik Euclid. Elemen. Untuk cakram Poincar’e, metriknya adalah

\displaystyle \mathrmds^2 = \frac4(\mathrmdx^2 + \mathrmdy^2)(1-(x^2+y^2))^ 2 = \frac4(\mathrmdr^2 + r^2\mathrmd\theta^2)(1-r^2)^2

Pada dasarnya, jarak menyusut dengan jarak r=\sqrtx^2+y^2 dari asalnya. Diagram piringan Poincare ditunjukkan pada gambar di atas, menunjukkan pilihan geodesik. Setiap segitiga (terdistorsi) pada gambar memiliki luas yang sama dalam metrik ini.

Dari Lingkaran ke Kotak

Kami akan mempertimbangkan metrik yang serupa dalam beberapa hal dengan disk, tetapi dengan titik-titik yang dibatasi dalam kotak yang berpusat di titik asal. Metrik dari Alun-alun Poincare adalah

\displaystyle \mathrmds^2 = \frac\mathrmdx^2(1-x^2)^2 + \frac\mathrmdy^2(1 -y^2)^2

Mari kita pertimbangkan jarak dari titik asal HAI ke titik P pada (x,0):

\displaystyle s(O,P) = \int \mathrmds = \int_0^x \frac\mathrmdx(1-x^2) = \log\sqrt\frac 1+x1-x \,.

Jelas, jarak dari titik asal ke batas di (1,0) tidak terbatas. Kita dapat membalikkan ekspresi ini untuk memperoleh x sebagai fungsi jarak s:

\displaystyle x = \tanh s \,.

Geodesik

Persamaan umum untuk geodesik dapat ditulis

\displaystyle \frac\mathrmd^2 x^\lambda\mathrmd\tau^2 + \Gamma^\lambda_\mu\nu\frac\mathrmd x^\mu\mathrmd\tau\frac\mathrmdx^\nu\mathrmd\tau =

di mana \Gamma^\lambda adalah simbol Christoffel, melibatkan turunan dari koefisien metrik g_\mu\nu. Mereka dapat dihitung secara manual, tetapi ini membosankan dan rawan kesalahan. Perangkat lunak untuk menghitungnya secara otomatis tersedia terkait dengan buku teks tentang relativitas oleh Hartle (2003). Tensor Riemann, tensor Ricci, dan kelengkungan juga dapat dihitung dengan cara ini.

Untuk alun-alun Poincar’e, tensor Riemann menghilang secara identik dan kelengkungan ruang adalah nol. Hanya ada dua simbol Christoffel yang tidak hilang,

\displaystyle \Gamma^1_11 = \frac2x1-x^2 \qquad\mboxand \qquad \Gamma^1_22 = \frac2y 1-y^2 \,,

sehingga persamaan geodesik dipisahkan satu sama lain:

\displaystyle \frac\mathrmd^2 x\mathrmd\tau^2 + \frac2x1-x^2 \left(\frac\mathrmdx \mathrmd\tau \right)^2 = 0 \qquad\qquad \frac\mathrmd^2 y\mathrmd\tau^2 + \frac2y 1-y^2 \left(\frac\mathrmdy\mathrmd\tau \kanan)^2 = 0 \,.

Persamaan ini nonlinier, tetapi dapat diselesaikan secara analitik, dengan bantuan Matematika. Untuk kondisi awal x(0) = x_0 dan \mathrmdx/\mathrmdt (0)= u_0solusinya adalah

\displaystyle x <p>Solusi untuk <img decoding=

Kiri: geodesik melalui titik asal (0,0) dari alun-alun Poincar’e. Kanan: geodesik melalui titik (-0,5,0,3) dari alun-alun Poincar’e.

Pada gambar (panel kiri) kami menunjukkan satu set 100 geodesik melewati titik asal. Semuanya adalah “garis lurus” dalam metrik Poincar’e. Dengan dua pengecualian, semuanya diperpanjang dari (-1,-1) ke (+1,+1) atau dari (-1,+1) ke (+1,-1). Dua pengecualian adalah garis yang sesuai dengan x-sumbu dan y-sumbu.

Pada gambar (panel kanan) kami menunjukkan 100 geodesik melewati titik umum — sebenarnya, titik (-0,5,0,3). Sekali lagi, mereka semua memanjang dari satu sudut ke sudut yang berlawanan, dengan pengecualian dua geodesi, satu sejajar dengan x-sumbu, yang lain ke y-sumbu.

Noughts dan Crosses Tidak Terbatas

Anak-anak suka bermain noughts dan crosses — alias tic-tac-toe — tetapi segera kehilangan minat: selama kedua pemain menggunakan strategi yang optimal, hasilnya seri, jadi game tersebut tidak memiliki minat teoretis yang mendalam. Pemain pertama memiliki sembilan opsi. Ada delapan sel yang tersisa untuk langkah kedua, dan seterusnya. Jadi paling banyak ada 9! atau sekitar sepertiga dari satu juta game. Namun, banyak dari ini setara. Untuk langkah pertama pada dasarnya ada tiga pilihan. Anda mungkin ingin memperkirakan jumlah total game yang pada dasarnya unik.

Gomoku adalah permainan yang lebih menarik dari jenis ini. Pemain secara bergantian menandai sel dengan batu hitam dan putih atau nol dan salib. Tujuannya adalah untuk mendapatkan lima batu atau tanda berturut-turut, horizontal, vertikal atau diagonal. Gim ini dapat dimainkan di papan Go atau dengan pensil dan kertas. Biasanya ada 15 kali 15 sel tetapi, pada prinsipnya, lapangan permainan bisa tidak terbatas.

Kiri: grid tak terbatas untuk Gomoku atau nought dan salib tak terbatas. Kanan: Papan catur tak terbatas; semua persegi memiliki luas yang sama.

Apakah ada cara untuk memasukkan jumlah sel yang tak terbatas pada papan yang terbatas? Pada gambar di atas kami menunjukkan kisi-kisi garis yang sejajar dengan sumbu dan berjarak sama satu sama lain dalam metrik Poincar’e Square. Panel kiri menunjukkan “infinite gomoku papan”. Di panel sebelah kanan adalah papan catur yang tak terbatas. Terlepas dari penampilannya, semua kotak memiliki luas yang sama.

Sumber

\peluru Hartle, James B., 2021: Gravitasi: Pengantar Relativitas Umum Einstein. Diterbitkan ulang Edisi Pertama, Cambridge University Press. 602 hal. ISBN: 9-781-3165-1754-3

Leave a Comment