Batas Urutan, Batas Set

Hey, Selamat datang di wikitanic.com.

Karl Weierstrass (1815–1897).

Dalam matematika sarjana, kita dihadapkan pada tahap awal dengan definisi “Epsilon-Delta”. Misalnya diberi fungsi $f(x)$ variabel nyata, kita mungkin bertanya apa nilai fungsi untuk nilai tertentu $x=a$ . Mungkin ini pertanyaan yang mudah atau mungkin juga tidak.

Konsep epsilon-delta bisa jadi tidak kentara, dan cukup sulit sehingga digunakan sebagai a Saring untuk menyingkirkan siswa yang mungkin dianggap tidak cukup pintar untuk melanjutkan pelajaran matematika (saya tahu ini dari pengalaman pribadi). Perumusan definisi epsilon-delta biasanya dikaitkan dengan matematikawan Jerman Karl Weierstrass. Mereka pasti telah menyebabkan dia banyak malam tanpa tidur.

Dalam kasus paling sederhana, kami hanya mengevaluasi $f(x)$ pada intinya $x=a$ dan dapatkan jawabannya $f(a)$ . Tapi tidak semua fungsi begitu mewajibkan. Misalnya fungsi

$\displaystyle f(x) = \frac\sin xx$

muncul di awal studi kalkulus, ketika kita menghitung turunan dari fungsi sinus. Mengganti nilainya $x=0$ menghasilkan nilai tak tentu $f(0) = 0/0$ . Apa yang harus dilakukan sekarang?

Batasan Fungsi

Kami melihat perilaku dari $f(x)$ untuk nilai-nilai dari $X$ sewenang-wenang dekat $x=0$ . Akan lebih mudah untuk memiliki cara untuk menunjukkan nilai pembatas dari $f(x)$ sebagai $X$ pendekatan $0$ . Ini biasanya ditulis sebagai $\lim_x\panah kanan 0 f(x)$ . Sekarang kita mendefinisikan batas ini menjadi nilai $f_0$ sehingga perbedaan antara $f(x)$ Dan $f_0$ menjadi sekecil yang kita inginkan dengan memilih nilai $X$ yang cukup dekat $0$ .

Dalam istilah simbolis, kami memperkenalkan definisi epsilon-delta

$\displaystyle [ \lim_x\rightarrow 0 f(x) = f_0 ] \jika [ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x-0| < \delta \implies |f(x)-f_0| < \epsilon ] \,.$

John von Neumann (1903-1957).

Pada titik ini, saya ingat jawaban atas pertanyaan “Kapan kita benar-benar memahami matematika?”, yang ditujukan kepada pemikir mendalam John von Neumann. Dia dikatakan telah menjawab “Dalam matematika, Anda tidak pernah benar-benar memahami apa pun, Anda hanya terbiasa”. Tentu saja, butuh waktu untuk membiasakan diri dengan pendekatan epsilon-delta.

Formulasi yang sangat mirip yang kami gunakan untuk menentukan batas barisan $\x_n\$ . Konvergensi barisan ke suatu nilai $X$ dapat dinyatakan dalam bentuk

$\displaystyle [ \lim_x\rightarrow\infty x_n = X] \jika [ \forall \epsilon > 0, \exists N\in\mathbbN : n>N \implies |x_n - X| < \epsilon ] \,.$

Di sini, “angka kecil” $\delta$ diganti dengan “jumlah besar” $N$ .

Jika semua ini terlalu berat untuk Anda, lihat artikel “Kalkulus Topologi: singkirkan epsilon dan delta yang buruk itu”, di situs web ini (tautan di bawah).

Batas Urutan Himpunan

Sejauh ini, semuanya standar, dan harus akrab bagi setiap siswa analisis. Tetapi konsep limit jauh lebih umum. Kami melihat secara singkat batas barisan yang istilahnya bukan angka, tetapi himpunan.

Membiarkan $\A_n : n\in\mathbbN \$ menjadi urutan himpunan. Kami akan mendefinisikan dua set, batas inferior dan superior, atau batas bawah dan atas:

$\displaystyle A_L = \liminf_n\rightarrow\infty A_n = \bigcup_n\ge 1^\infty \bigcap_m\ge n^\infty A_m \quad A_U = \limsup_n\rightarrow\infty A_n = \bigcap_n\ge 1^\infty \bigcup_m\ge n^\infty A_m$

Ini terlihat rumit tetapi dapat dijelaskan dengan istilah sederhana:

X sedang dalam lim inf jika x masuk semua kecuali jumlah yang terbatas dari set Sebuah

X sedang dalam lim sup jika x masuk jumlah yang tak terhingga dari set Sebuah

Jika dua set $AL$ Dan $A_U$ sama, maka barisan tersebut memiliki limit, nilai persekutuan dari $\liminf_n\rightarrow\infty A_n$ Dan $\liminf_n\rightarrow\infty A_n$ :

$\displaystyle \lim_n\rightarrow\infty A_n = \bigcup_n\ge 1^\infty \bigcap_m\ge n^\infty A_m = \bigcap_n\ge 1^\infty \bigcup_ m\ge n^\infty A_m\,.$

Teori probabilitas

Batas jenis ini memainkan peran penting dalam teori probabilitas. Dalam buku mereka yang luar biasa Sepuluh Ide Hebat Tentang PeluangPersi Diaconis dan Brian Skyrms mengajukan pertanyaan: Untuk urutan pelemparan koin yang tidak terbatas, berapa peluang kemungkinan kepala mendekati secara sewenang-wenang $\frac12$ dan tetap di sana? Mereka menulis ekspresi untuk set poin yang sesuai dalam interval $[0,1]$ yang mereka perkenalkan dengan “drum roll”,

$\displaystyle \bigcap_k=1^\infty \bigcup_n=1^\infty \bigcap_m\ge n^\infty \left\ x : \left \,.$

Ekspresi dalam kurung kurawal adalah himpunan semua titik di $[0,1]$ sehingga rata-rata yang pertama $M$ koordinat berada di dalam $1/k$ dari $\frac12$ . Rumus mewakili hukum bilangan besar yang kuat.

Diaconis dan Skyrms mengundang pembaca untuk mempelajari formula ini, yang mereka gambarkan sebagai “ekspresi yang mengerikan”. Saya percaya mereka bercanda: itu benar-benar indah, meskipun daya tariknya adalah apa yang digambarkan Bertrand Russell sebagai “keindahan yang dingin dan keras, seperti patung”.

Sumber

$\peluru$ Persi Diaconis dan Brian Skyrms, 2018: Sepuluh Ide Hebat Tentang Peluang, Universitas Princeton. Tekan. 255pp. ISBN: 9-780-6911-9639-8.

$\peluru$ artikel Wikipedia Batas set-teoritis Dan Batasi inferior dan batasi superior. http://www.wikipedia.org/

$\peluru$ Itu Matematika: Kalkulus Topologi: singkirkan epsilon dan delta yang jahat itu. TAUTAN.

Leave a Comment Cancel reply