Hey, Selamat datang di wikitanic.com.
Di Twitter, @robotmaths bertanya:
Bukti pertanyaan: berdiskusi dengan Kelas 12 metode terbaik untuk membuktikan $(x+y)^2 ≥ 4xy$ Mereka tidak dapat memulai dengan pernyataan ini, jadi apa cara terbaik Anda untuk menjawab pertanyaan?
Ini adalah jenis pertanyaan di mana apa yang berguna bagi siswa menjelang akhir Kelas 12 mungkin tidak sama dengan apa yang berguna bagi siswa yang mengikuti Olimpiade, atau apa yang jelas bagi seorang profesional matematika. Hanya ada satu hal untuk itu: daftar besar kemungkinan pendekatan.
1. Gambarlah sebuah gambar
Ini pertama bukan karena ini adalah titik awal yang paling jelas atau bahkan bukti “terbaik”, tetapi karena ini cantik, keren, dan (bagi saya) lebih meyakinkan daripada mengocok simbol. Ini dia: persegi jelas setidaknya sebesar empat persegi panjang ((Tanpa kehilangan sifat umum, $x$ dan $y$ dapat ditukar))
2. Proses tiga tahap
Ini mungkin rencana yang paling masuk akal untuk siswa Y12.
- Yakinkan diri Anda bahwa itu benar
- Marsekal bukti Anda
- Presentasikan kasusnya
Yakinkan diri Anda
Langkah pertama adalah melakukan persis apa yang robot katakan tidak boleh Anda lakukan – di atas kertas bekas, di pinggir, di suatu tempat yang jauh dari Solusi Tepat Aktual Anda, kerjakan aljabar. Misalnya:
- $(x+y)^2 \ge? 4x$
- $x^2 + 2xy + y^2 \ge? 4x$
- $x^2 - 2xy + y^2 \ge? 0$
- $(xy)^2 \ge? 0$
Oh! Ya, ya benar. Saya sangat yakin dengan itu. Tapi itu bukan bukti, karena saya sudah berasumsi hasilnya.
Marsekal bukti Anda
Jika saya ingin melakukannya dengan benar, saya harus mulai dari sesuatu yang benar-benar benar dan memanipulasinya sampai saya mendapatkan proposisi.
Itu mudah di sini! Saya hanya perlu memulai dari baris terakhir dan mengerjakan halaman.
Presentasikan kasusnya
- Pertimbangkan $(xy)^2$
- $(xy)^2 \ge 0$
- $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$
- $x^2 + 2xy + y^2 \ge 4xy$
- $(x+y)^2 \ge 0 \blacksquare$
Guru yang lebih sinis mungkin menyarankan bahwa strategi yang bisa diterapkan – meskipun mungkin berisiko – adalah mengerjakan halaman pertama. Anda harus berhati-hati (bekerja di kedua arah); tidak setiap langkah aljabar yang dapat dibayangkan dapat dibalik, dan terutama ketika Anda mengalikan/membagi dengan sesuatu yang mungkin negatif, atau mengambil akar kuadrat, Anda harus benar-benar yakin bahwa Anda membuat langkah-langkah yang valid.
3. Pendekatan perbedaan
Saya suka saran dari Pat Cobb ini: mulai dari perbedaan antara sisi kiri dan kanan dan tunjukkan bahwa itu bukan negatif.
Di sini, itu terlihat seperti:
- Pertimbangkan $f(x,y) = (x+y)^2 – 4xy$
- $f(x,y) = (x^2 + 2xy + y^2) – 4xy$
- $\titik = x^2 – 2xy + y^2$
- $\titik = (xy)^2 \ge 0$
- Jadi $f(x,y) \ge 0$, sesuai kebutuhan.
4. Kontradiksi
Sekarang, Kelas 12 mungkin tidak menemukan bukti kontradiksi. Namun, itu tidak menjadikannya metode yang tidak valid; sebaliknya ((Lihat apa yang saya lakukan di sana? Bukankah itu pintar?)), menurut saya ini adalah kesempatan untuk menambahkan alat ke kotak alat matematika.
- Asumsikan untuk tujuan kontradiksi bahwa $(x+y)^2 < 4xy$
- Lalu $x^2 + 2xy + y^2 < 4xy$
- $x^2 - 2xy + y^2 < 0$
- $(xy)^2 < 0$
- Namun, ruas kiri adalah kuadrat dari bilangan real dan harus non-negatif.
- Kami memiliki kontradiksi dan asumsi awal kami pasti salah ((Sepanjang, seperti yang dikatakan Andrew Stacey, hukum pengecualian tengah berlaku. mendesah)).
5. Ide pencar
Beberapa pendekatan lain:
Variabel bantu
Misalkan $\delta = yx$
- Maka $(x+y)^2 = x^2 + 2x(x+\delta) + (x+\delta)^2$
- $\titik = 4x^2 + 4x\delta + \delta^2$
- $\titik = 4x(x+\delta) + \delta^2$
- $\dots = 4xy + \delta^2 \ge 4xy$.
Perbedaan hantu dua kotak
RHS adalah $(2x)(2y)$, sehingga dapat ditulis sebagai $(x+y)^2 – (xy)^2$ melalui selisih dua kotak. Itu jelas tidak lebih besar dari $(x+y)^2$.
Ketidaksetaraan AM-GM
Sekarang, saya tidak terlalu suka ini: argumennya adalah “Ketidaksetaraan AM-GM menyatakan bahwa $\fracx+y2 \ge \sqrtxy$”, dan mengkuadratkan memberi Anda hasilnya secara langsung. Namun, saya merasa ini adalah cara yang salah; Saya pikir ketidaksetaraan yang kami coba buktikan adalah alasan ketidaksetaraan AM-GM, dan kami agak berasumsi hasilnya. Kami juga mendapat masalah saat $xy$ negatif.
Namun, jika kita mengabaikannya, kita dapat menggunakan…
Bukti geometris
- Persegi panjang dengan panjang sisi $x$ dan $y$ memiliki keliling $2x+2y$.
- Persegi dengan panjang sisi $\sqrtxy$ memiliki keliling $4\sqrtxy$.
- Keduanya memiliki area yang sama.
- Segiempat dengan luas tertentu yang memperkecil keliling adalah bujur sangkar, jadi $2\sqrtxy \le x+y$
- Persegi kedua sisi dan gambar persegi kecil.
—
Saya membayangkan ada ide bermanfaat lainnya – tolong bagikan!
* Terima kasih kepada @robotmaths, Pat Cobb, Andrew Stacey, dan semua orang yang terlibat dalam percakapan.