Bilangan Tanpa Satuan: Chorisena Sets

Hello, Selamat datang di wikitanic.com.

Kiri: Hitungan elemen himpunan $\mathbfXe_10$ . Kanan: kerapatan parsial himpunan $\mathbfXe_10$ .

Variasi himpunan bilangan asli tidak ada habisnya. Himpunan yang memiliki segala macam sifat telah dipelajari dan masih banyak lagi yang harus ditemukan. Dalam catatan ini kita mempelajari himpunan bilangan asli yang digit desimal 1 tidak muncul.

penerjemah Google di ponsel saya memberi bahasa Yunani untuk “tanpa yang” sebagai $\chi\omega\rho\iota'\varsigma$ $\varepsilon'\nu\alpha$ atau choris enajadi mari kita sebut satu set “bilangan tanpa satu” a set chorisena.

Pola Numerik

Pada Gambar di atas (panel kiri) kami memplot hitungan $\ Tanjung)$ dari set chorisena untuk nilai-nilai $N$ hingga $30,000$ . Di panel kanan, kerapatan parsial diplot. Pada akhirnya akan cenderung nol, meskipun hal ini tidak terlihat jelas dari plotnya.

Untuk kecil $N$ kita dapat dengan mudah menghitung angka kurang dari $N$ yang tidak memiliki $1$ dalam ekspansi desimal mereka. Beberapa contoh ditunjukkan pada Tabel di bawah ini. Sangat mudah untuk menunjukkan hitungan itu $\ Tanjung)$ adalah $9^k-1$ untuk $n=10^k$ . Nomor $10^k$ diikuti oleh serangkaian angka yang dimulai dengan 1, jadi hitungan untuk $n=2\kali 10^k$ lebih besar dengan hanya 1, di $9^k$ .Kepadatan parsial didefinisikan sebagai

$\displaystyle \rho_\mathbfXe_10(n) = \frac\kappa(n)n \,.$

Ini relatif besar untuk $n=10^k$ dan turun dengan faktor 2 kapan $n=2\kali 10^k$ . Dengan demikian ia memiliki pola berosilasi. Namun, sebagai $N$ cenderung $\infty$ , kerapatan parsial cenderung nol. Dengan demikian, kerapatan alami, $\rho_\mathbfXe_10(n) = \lim_n\rightarrow\infty [\kappa(n)/n]$ adalah nol.

Argumen Probabilitas

Batas akhir kepadatan dapat dengan mudah dipahami dalam hal probabilitas (Tenenbaum, 1995). Mari kita pertimbangkan himpunan semua angka yang memiliki hingga $K$ digit. Artinya, semua angka kurang dari $N = 10^K+1$ . Untuk nomor yang dipilih secara acak $N$ digit arbitrer dapat mengambil salah satu dari sepuluh nilai yang mungkin $\0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9\$ dan kita dapat menganggap setiap nilai memiliki kemungkinan yang sama. Dengan demikian, probabilitas digit yang berubah-ubah bukan menjadi 1 adalah $9/10$ . Karena kita dapat mengasumsikan bahwa digit dipilih secara independen, probabilitas keseluruhan $P$ bahwa 1 tidak muncul di manapun di nomor tersebut

$\displaystyle P \equiv \mboxProbabilitas munculnya angka 1 = \left( \frac910 \right)^K \,.$

Tentu saja, jika cut-off di $N = 2\times10^K+1$ , probabilitasnya dibelah dua. Bagaimanapun, jelas itu $P\panah kanan 0$ sebagai $N\panah kanan\infty$ .

Terner Chorisena Set $\mathbfXe_3$

Kita dapat mengikuti prosedur di atas tetapi dimulai dengan angka yang dinyatakan dalam basis 3. Untuk angka-angka ini, satu-satunya digit yang dapat diterima adalah $\0, 1, 2\$ . Kami menganggap himpunan semua bilangan asli yang ekspansi ternernya tidak mengandung digit sama dengan 1.

Menurut https://oeis.org/A005823, yang pertama $2^n$ ketentuan urutan $\mathbfXe_3$ dapat diperoleh dengan menggunakan proses Cantor “middle-third-removal” untuk segmen tersebut $[0,3^n-1]$ . Misalnya, jika $n=2$ kita mendapatkan

$\displaystyle \beginarrayrcl &[0,1,2,3,4,5,6,7,8]& \\ &[0,1,2,\bullet,\bullet,\bullet,6,7,8]& \\ &[0,\bullet,2,\bullet,\bullet,\bullet,6,\bullet,8]& \endarray$

Angka yang tersisa adalah elemen awal dari $\mathbfXe_3$ . Daftar istilah awal yang lebih lengkap (dari OEIS A005823) adalah

$\displaystyle \beginarrayrcl & 0, 2, 6, 8, 18, 20, 24, 26, 54, 56, 60, 62, 72, 74, 78, 80, 162, 164, 168, \ \ & 170, 180, 182, 186, 188, 216, 218, 222, 224, 234, 236, 240, 242, \titik \endarray$

Ini memberikan 16 istilah (termasuk 0) kurang dari $81 = 3^4$ . Halaman OEIS menunjukkan bahwa ketentuan urutan dapat disebut “angka Cantor”.

Total angka dengan $k$ atau lebih sedikit digit terner adalah $3^k$ . Jumlah ini tanpa digit sama dengan $1$ dapat ditampilkan menjadi $2^k-1$ . Dengan demikian, kerapatan parsial dari himpunan bilangan tanpa digit sama dengan $1$ adalah

$\displaystyle \rho = \frac2^k-13^k \approx \left( \frac23 \right)^k \,.$

Ini menjadi lebih kecil sebagai $k$ menjadi lebih besar dan kerapatan alami himpunan $\mathbfXe_3$ adalah nol.

Kiri: hitungan elemen himpunan $\mathbfXe_3$ untuk $n\le 3^8$ . Kanan: kerapatan parsial himpunan $\mathbfXe_3$ .

Pada Gambar di atas kami menunjukkan jumlah elemen dari himpunan $\mathbfXe_3$ (kiri) dan densitas parsialnya (kanan). Kami melihat bahwa hitungannya konstan hampir sepanjang waktu, dengan lompatan terisolasi. Faktanya, himpunan ini terkait erat dengan Himpunan Cantor Ternary, himpunan bilangan real di $[0,1]$ mengandung no $1$ dalam ekspansi terner mereka. Himpunan ini bersifat fraktal, berdimensi Hausdorff $\log 2/\log 3$ tak terhitung namun memiliki ukuran Lebesgue nol.

Pembaca mungkin menikmati menjelajahi hubungan antara $\mathbfXe_3$ dan set Cantor.

Sumber

$\peluru$ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS): Bilangan yang ekspansi ternernya tidak mengandung angka 1. https://oeis.org/A005823

$\peluru$ Tenenbaum, Gerald, 1995: Pengantar Teori Bilangan Analitik dan Probabilistik. Pers Universitas Cambridge. ISBN 0-521-41261-7.

$\bintang \qquad \bintang \qquad \bintang$

Kumpulan Artikel ThatsMaths
Dari Logika Tekan. Tersedia juga dalam bentuk hardback

Leave a Comment Cancel reply