Fungsi CND: Kurva yang Berkelanjutan tetapi Tidak Dapat Dibedakan di mana pun

Perkiraan {L_{12}(x)} ke fungsi CND Weierstrass.

Sebuah fungsi {f(x)} yang terdiferensiasi pada suatu titik {x} kontinu di sana, dan jika dapat diturunkan pada suatu interval {[a, b]}, kontinu pada interval tersebut. Namun, kebalikannya belum tentu benar: kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik atau pada suatu interval tidak menjamin bahwa fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik atau pada interval tersebut.

Sepanjang abad kedelapan belas dan awal abad kesembilan belas, matematikawan percaya bahwa kontinuitas menyiratkan perbedaan. Fisikawan dan matematikawan Prancis André-Marie Ampère menghasilkan hasil yang, untuk sementara waktu, dikenal sebagai Teorema Ampre: Setiap fungsi kontinu dapat diturunkan kecuali untuk himpunan titik-titik yang terisolasi. Sangat mengejutkan, ini terbukti salah ketika Karl Weierstrass pertama kali menjelaskan, di sebuah alamat pada tahun 1872 ke Akademi Berlin, sebuah fungsi yang kontinu di mana-mana tetapi tidak dapat dibedakan di mana pun.

Kami akan menunjukkan fungsi-fungsi seperti fungsi CND (untuk fungsi terdiferensiasi di mana pun secara kontinu). Hasil Weierstrass tidak disambut hangat: sebagian besar matematikawan menganggapnya artifisial dan “patologis”. Biografi Weierstrass di MathTutor (O’Connor dan Robertson) menggambarkan reaksi sebagai berikut: “Para analis yang sangat bergantung pada intuisi untuk penemuan mereka agak kecewa dengan fungsi kontra-intuitif ini.” Tetapi penemuan kurva CND seperti yang dimiliki Weierstrass memaksa matematikawan untuk mempertimbangkan kembali definisi mereka, dan menyebabkan perkembangan signifikan dalam analisis. Fungsi Weierstrass adalah contoh pertama yang diterbitkan dari apa yang sekarang dikenal sebagai a kurva fraktal.

Dalam tesis Masternya di Universitas Teknologi Luleå, Johan Thim (2003) memasukkan daftar panjang fungsi CND, dengan nama lebih dari tiga puluh ahli matematika, di antaranya adalah Bolzano, Riemann, Weierstrass, Hankel, Darboux, Sierpinski, Hardy, van der Waerden dan Banach. Yang paling awal adalah Bernhard Bolzano yang, sekitar tahun 1830, membangun contoh pertama dari fungsi CND. Namun, itu tidak diterbitkan selama satu abad lagi dan, seperti banyak karyanya, gagal mendapatkan pengakuan yang layak.

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga :  Luas Lingkaran - Definisi, Rumus, Derivasi, dan Contoh

Fungsi Weierstrass

Perkiraan untuk {N=1,2,3,4} ke fungsi CND Weierstrass.

Fungsi yang dirancang oleh Weierstrass didefinisikan sebagai batas barisan:

\displaystyle W(x) = \sum_{k=0}^\infty a^k \cos b^k\pi x \,,

di mana {0<a<1}, {b>1}” class=”latex” /> dan <img decoding=. Kami mendefinisikan pendekatan hingga {P(x)} oleh

\displaystyle W_N(x) = \sum_{k=0}^N a^k \cos b^k\pi x \,.

Pada Gambar di atas, perkiraan untuk {N=1,2,3,4} ditampilkan untuk nilai parameter {a=\frac{1}{2}} dan {b=3}. Kita melihat bahwa jalannya {T_T(x)} menjadi lebih tidak menentu sebagai {N} meningkat. Grafik dari {L_{12}(x)} ditampilkan di kepala posting ini. Ini memberikan kesan yang jelas tentang sifat runcing dari kurva pembatas {P(x)}.

Pesta Fraktal

Perkiraan kurva kepingan salju Koch.

Pada tahun 1890, Giuseppe Peano mendefinisikan fungsi CND yang memiliki sifat luar biasa: itu adalah kurva pengisi ruang yang memetakan interval satuan {[0,1]} ke alun-alun satuan {[0,1]\waktu[0,1]}. Fungsi Peano adalah kontinu tetapi tidak dapat dibedakan pada interval satuan. Ini memunculkan penemuan banyak kurva serupa lainnya, yang awal oleh David Hilbert, yang menunjukkan kontinuitas di mana-mana dan di mana pun perbedaan kurvanya. [see That’s Maths post].

Contoh awal lain dari kurva fraktal adalah kepingan salju Koch, yang muncul dalam makalah tahun 1904 oleh matematikawan Swedia Helge von Koch, berjudul Pada kurva kontinu tanpa garis singgung, dapat dibangun dari geometri dasar. Kurva ini dibangun dengan berulang kali membagi tiga sisi segitiga sama sisi dan mendirikan segitiga yang lebih kecil di segmen pusat. Empat tahap pertama ditunjukkan pada Gambar (kiri atas).

{\star\qquad\star\qquad\star}

Sumber

{\peluru} Thim, Johan, 2003: Fungsi Diferensial Nowhere Kontinu. Tesis Master, Jurusan Matematika., Luleå Univ. Teknologi, 2003:320 CIV. PDF

{\peluru} O’Connor, JJ dan EF Robertson. Karl Weierstrass — Biografi. guru matematika,

{\peluru}Itu Matematika: Kurva Pengisian Ruang, Bagian I: “Saya melihatnya, tetapi saya tidak mempercayainya”.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Previous Article

Teorema Binomial

Next Article

Luas Lingkaran - Definisi, Rumus, Derivasi, dan Contoh

Related Posts