Kekuatan 2-gon: Ekstrapolasi untuk Mengevaluasi Pi

Halo, Selamat datang di wikitanic.com.

Lewis Fry Richardson

Prosedur ekstrapolasi Richardson menghasilkan peningkatan yang signifikan dalam akurasi solusi numerik persamaan diferensial. Kami mempertimbangkan ilustrasi tekniknya yang elegan, evaluasi dari $\pi$ dan tunjukkan bagaimana perkiraan meningkat secara dramatis dengan ekstrapolasi orde yang lebih tinggi.

[This post is a condensed version of a paper in Mathematics Today (Lynch, 2003).]

Pendekatan yang Ditangguhkan untuk Batas

Metode beda hingga dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson dalam studinya tentang tegangan pada bendungan pasangan bata. Turunan $dy/dx$ dari sebuah fungsi $y(x)$ ada jika rasio $[(y(x+h)-y(x)]/h$ cenderung ke batas tertentu sebagai kenaikan $h$ cenderung nol. Kalkulus diferensial tergantung pada pembenaran proses pembatasan $h\panah kanan 0$ . Dalam mendekati persamaan diferensial dengan perbedaan hingga, kami membalikkan prosedur, dan mengganti turunan dengan rasio peningkatan yang sesuai dari variabel dependen dan independen. Richardson menggambarkan prosedurnya sebagai berikut:

“Meskipun kalkulus sangat kecil telah sukses luar biasa, namun tetap ada masalah di mana itu rumit atau tidak bisa diterapkan. Ketika kesulitan-kesulitan seperti itu dihadapi, mungkin baik untuk kembali ke cara mereka melakukan sesuatu sebelum kalkulus ditemukan, menunda bagian itu sampai batasnya sampai setelah masalah dipecahkan untuk sejumlah kecil perbedaan yang cukup kecil.”

Richardson menyebut penundaan proses ini $h\panah kanan 0$ ‘pendekatan yang ditangguhkan sampai batas’. Keakuratan pendekatan perbedaan hingga tergantung pada ukuran grid $h$ . Richardson adalah salah satu yang pertama menganalisis perilaku kesalahan. Dia berhati-hati untuk menggunakan perbedaan terpusat sedapat mungkin, jadi turunannya $dy/dx$ akan digantikan oleh $[y(x+h)-y(x-h)]/2j$ . Untuk perbedaan terpusat, akurasi biasanya dari urutan kedua; yaitu, kesalahannya berkurang seperti $h^2$ sebagai $h\panah kanan 0$ .

Perilaku kuadrat dari kesalahan menyediakan sarana universal untuk memeriksa dan memperbaikinya. Jika kuantitas $f(x)$ yang akan dievaluasi diperkirakan dengan $F(x,h)$ kita asumsikan

$\displaystyle F(x,h) = f(x) + k_2(x)h^2 + k_4(x)h^4 + k_6(x)h^6 + \cdots \,, \ \ \ \ \ (1 )$

dimana fungsinya $k_n(x)$ umumnya tidak diketahui dan di mana kekuatan aneh dari $h$ tidak hadir. Untuk kecil $h$ mungkin cukup untuk mempertahankan hanya dua istilah pertama, $F(x,h) = f(x) + k_2(x)h^2$ . Lalu jika $F$ dihitung untuk dua ukuran grid yang berbeda, $h_1$ dan $h_2$ solusi yang dilambangkan $F_1$ dan $F_2$ kita bisa menghilangkan $k_2$ dan dapatkan

$\displaystyle f(x) = F_2 + \frac\rho^21-\rho^2(F_2-F_1) \ \ \ \ \ (2)$

di mana $\rho=h_2/h_1$ . Inilah yang Richardson sebut $h^2$ -ekstrapolasi. Dia mencatat bahwa metode dapat disempurnakan: jika solusi dihitung untuk tiga nilai $h$ itu $k_4$ istilah juga dapat dihilangkan; ini $h^4$ -ekstrapolasi. Perpanjangan ke pesanan yang lebih tinggi sudah jelas. \hkotak $h^2n$ -ekstrapolasi membutuhkan solusi dari sistem $n+1$ persamaan linear simultan

$\displaystyle F_k = f(x) + k_2h_k^2 + k_4h_k^4 + \cdots + k_2nh_k^2n\,, \quad k=1,2,\dots ,n+1 \,.$

Ini adalah beban aritmatika, tetapi tugas dasar, untuk dipecahkan $f(x)$ .

Memperkirakan $\pi$ dengan Ekstrapolasi

Untuk mengilustrasikan kekuatan metode ekstrapolasinya, Richardson mempertimbangkan masalah kuno evaluasi $\pi$ . perkiraan dari $\pi$ dengan menuliskan dan membatasi poligon dalam lingkaran satuan setidaknya kembali ke Archimedes. Oleh an $N$ -gon, yang kami maksud adalah poligon beraturan yang memiliki $N$ sisi. Di Pengukuran LingkaranArchimedes meremas lingkaran unit di antara dua 96-gon, melompat $\pi$ dalam interval $[3.141, 3.143]$ . Mari kita tunjukkan perkiraan $\pi$ dari sebuah tulisan $N$ -gon as $\Pinus)$ . Sebuah persegi tertulis di lingkaran satuan memiliki keliling $4\sqrt2$ memberikan perkiraan kasar $\Pi(4)= 2\sqrt2 \kira-kira 2,828$ . Sebuah segi enam tertulis memiliki sisi satuan, memberikan $\Pi(6) = 3$ , lebih baik tapi masih cukup miskin. Kami mendefinisikan resolusi dengan $h=1/T$ sehingga $\rho=h_2/h_1=\frac23$ . Dengan asumsi kesalahan sebanding dengan kuadrat resolusi, kesalahan dalam dua perkiraan berada dalam rasio $1/4^2$ ke $1/6^2$ atau $9 : 4$ . Richardson’s $h^2$ -rumus ekstrapolasi (2) kemudian memberikan:

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga : Dari Persamaan Gelombang ke Telekomunikasi Modern

$\displaystyle \Pi(4,6) = 3 +\textstyle\frac45(3-2\sqrt2) = 3.137 \,,$

yang benar untuk tiga angka. Ini adalah peningkatan dramatis pada dua perkiraan dari mana ia dibangun. Seperti yang dicatat Richardson, satu tulisan $N$ -gon akan membutuhkan 35 sisi untuk menghasilkan akurasi seperti itu.

Kekuatan 2-gon

Kami mungkin bertanya-tanya apakah perkiraan yang lebih baik dari $\pi$ dapat diperoleh tanpa bantuan trigonometri, menggunakan pendekatan Richardson. Memang ini masalahnya. Sebuah 2-gon tertulis adalah poligon merosot yang terdiri dari dua diameter bertepatan. Ini menghasilkan perkiraan yang tidak mengesankan $\Pi(2)=2$ . Namun, bila digunakan bersama dengan $\Pi(4)$ dan $\Pi(6)$ di sebuah $h^4$ -ekstrapolasi, itu mengarah ke perkiraan $\Pi(2,4,6) = 3,14134$ , benar hingga empat digit. Tunggal $N$ -gon urutan 145 diperlukan untuk memberikan presisi yang sama.

Didorong oleh keberhasilan ini, kami mempertimbangkan ekstrapolasi tingkat tinggi. Mempertahankan semangat sederhana Richardson, kita `kembali ke cara mereka melakukan sesuatu sebelum trigonometri ditemukan’, dan hanya menggunakan poligon yang sisi-sisinya dapat dihitung dengan geometri dasar. Segitiga sama sisi bertulis memiliki sisi $\sqrt3$ . Sebuah pentagon membutuhkan lebih banyak kecerdikan, tetapi dapat digambar dengan penggaris dan kompas dan panjang tepinya ditunjukkan dengan metode dasar menjadi $\frac12\sqrt10-2\sqrt5$ .Tabel 1 memberikan perkiraan $\pi$ untuk ekstrapolasi menggunakan berbagai kombinasi poligon. Kami melihat bahwa menggunakan empat poligon, perkiraan $\Pi(3,4,5,6) = 3,14159$ diperoleh, benar untuk enam angka dan setara dengan satu $N$ -gon dengan 2887 sisi. Namun, hasil yang paling mengejutkan adalah yang diperoleh dengan menambahkan 2-gon. Estimasi kemudian meningkat menjadi $\Pi(2,3,4,5,6) = 3,14159264$ yang memiliki delapan digit bagus dan memberikan hasil yang mirip dengan 19364-gon bertulisan.

Diskusi

perkiraan dari $\pi$ tidak lagi menjadi perhatian utama matematika arus utama, meskipun akurasi yang semakin tinggi merupakan tantangan bagi ilmuwan komputer. Perkiraan sederhana seperti $\frac355113$ memberikan tujuh digit yang benar, cukup untuk sebagian besar masalah. Selain itu, proses ekstrapolasi Richardson mengharuskan kita untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yang ordenya meningkat seiring dengan orde ekstrapolasi.

Namun, kesimpulan penting dari hasil di atas adalah bahwa prosedur ekstrapolasi dapat secara dramatis meningkatkan akurasi. Jadi, menggabungkan perkiraan yang sangat buruk $\Pi(2)$ dengan $\Pi(4,6)$ mengurangi kesalahan dengan faktor 17, dan menggabungkannya dengan $\Pi(3,4,5,6)$ menghasilkan pengurangan 45 kali lipat. Implikasinya adalah bahwa bahkan perkiraan kasar dan siap pakai dapat meningkatkan pengetahuan kita jika kita memiliki pemahaman tentang pola kesalahan.

Sumber

$\peluru$ Lynch, Peter, 2003: Ekstrapolasi Richardson: Kekuatan 2-gon. Matematika Hari Ini, 39(5), 159–160. PDF.

$\peluru$ Richardson, Lewis F., 1927: Pendekatan yang ditangguhkan hingga batasnya. Bagian I: Kisi tunggal. Fil. Trans. Roy. Soc., London, A226299–349.

Leave a Reply Cancel reply