Memecahkan Persamaan Eksponensial

Ini adalah persamaan yang eksponen atau bagian dari eksponennya adalah variabel.

Contoh:

3^x = 27

5^{3x – 1} = 625

Contoh 1 :

Selesaikan untuk x :

3^x = 27

Solusi:

3^x = 27

3^x = 3 3 3

3^x = 3³

Samakan eksponennya.

x = 3

Contoh 2 :

Selesaikan untuk x :

2^{x – 5} = 1/16

Solusi:

2^{x – 5} = 1/16

2^{x – 5} = 1/2⁴

2^{x – 5} = 2^-4

Samakan eksponennya.

x – 5 = -4

Tambahkan 5 di kedua sisi.

x = 1

Contoh 3 :

Selesaikan untuk x :

6 3^x = 54

Solusi:

7 3^x = 63

Bagilah kedua sisi dengan 7.

3^x = 9

3^x = 3²

Samakan eksponennya.

x = 2

Contoh 4 :

Selesaikan untuk x :

4^x = 7(2^x) + 18

Solusi:

4^x = 7(2^x) + 18

(2²)^x = 7(2^x) + 18

(2^x)² = 7(2^x) + 18

(2^x)² – 7(2^x) – 18 = 0

Misalkan a = 2^x.

sebuah² – 7a – 18 = 0

(a – 9)(a + 2) = 0

a – 9 = 0 atau a + 2 = 0

Dalam 3^xberapapun nilai riilnya (positif atau negatif atau nol) kita substitusikan ke x, 3^x tidak pernah bisa negatif. Jadi kita bisa mengabaikan persamaan 3^x = -2.

Karena itu,

x = 2

Contoh 5:

Selesaikan untuk x :

5^x = (√25)^-7 (5)^-5)

Solusi:

5^x = (√25)^-7 (5)^-5

5^x = 5^-7 (5^1/2)^-5

5^x = 5^-7 5^-5/2

5^x = 5^{-7 – 5/2}

5^x = 5^-19/2

Samakan eksponennya.

x = -19/2

Contoh 6:

Tentukan nilai x jika 10^x = 100.

Solusi:

10^x = 100

Persamaan di atas dalam bentuk eksponensial. Ubah ke bentuk logaritmik untuk menyelesaikan x.

x = log₁₀100

x = log₁₀100

x = log₁₀(10²)

x = 2log₁₀10

x = 2(1)

x = 2

Contoh 7 :

Tentukan nilai x jika 3^x = 1/27.

Solusi:

3^x = 1/27

Persamaan di atas dalam bentuk eksponensial. Ubah ke bentuk logaritmik untuk menyelesaikan x.

x = log₃(1/27)

x = log₃1 – log₃27

x = 0 – log₃(3³)

x = -3log₃3

x = -3(1)

x = -3

Contoh 8 :

Tentukan nilai x jika 5^{3x – 1} = 1/625.

Solusi:

5^{3x – 1} = 1/625

Persamaan di atas dalam bentuk eksponensial. Ubah ke bentuk logaritmik untuk menyelesaikan x.

3x – 1 = log₅(1/625)

3x – 1 = log₅1 – log₅625

3x – 1 = 0 – log₅(5⁴)

3x – 1 = -4log₅5

3x – 1 = -4(1)

3x – 1 = -4

Tambahkan 1 ke kedua sisi.

3x = -3

Bagilah kedua sisi dengan 3.

x = -1

Contoh 9 :

Selesaikan untuk x :

2^x – 1 = 5

Solusi:

2^x – 1 = 5

Tambahkan 1 ke kedua sisi.

2^x = 5

Di ruas kiri persamaan di atas, alasnya adalah 2. Di ruas kanan, 6 bukan pangkat 2. Jadi, kita tidak bisa mendapatkan bilangan yang sama di kedua ruas.

Ambil logaritma di kedua sisi dan selesaikan untuk x.

log(2^x) = log6

Dengan menggunakan aturan pangkat logaritma,

xlog2 = log6

Bagilah kedua sisi dengan log2.

 

Contoh 10 :

Selesaikan untuk x :

5^{x – 1} – 2^x = 0

Solusi:

5^{x – 1} – 2^x = 0

Tambahkan 2^x ke kedua sisi.

5^{x – 1} = 2^x

Pada persamaan di atas, alas pada ruas kanan dan alas ruas kiri tidak sama. Dan juga, kita tidak bisa membuat basis yang sama di kedua sisi menggunakan aturan eksponen.

Ambil logaritma di kedua sisi dan selesaikan untuk x.

log(5^{x – 1}) = log(2^x)

Dengan menggunakan aturan pangkat logaritma,

(x – 1)log5 = xlog2

Dengan menggunakan sifat distributif,

xlog5 – log5 = xlog2

Kurangi xlog2 dari kedua sisi.

xlog5 – log5 – xlog2 = 0

Tambahkan log5 ke kedua sisi.

xlog5 – xlog2 = log5

Faktor.

x(log5 – log)2 = log5

Bagilah kedua sisi dengan (log5 – log2).

Kami selalu menghargai umpan balik Anda.