Persamaan Dinamis untuk Cuaca dan Iklim

Halo, Selamat datang di wikitanic.com.

“Saya bisa melakukannya dengan cara yang jauh lebih rumit”,
kata Ratu Merah, sangat bangga. -Lewis Carroll.

Buku-buku tentang meteorologi dinamis dan oseanografi biasanya memiliki satu bab penuh yang dikhususkan untuk persamaan dinamis dasar. Karena selubung cairan bumi kira-kira merupakan cangkang bola tipis, koordinat bola $(\lambda,\varphi,r)$ nyaman. Di Sini $\lambda$ adalah bujur dan $\varphi$ garis lintang. Pada Gambar 1 kami menunjukkan persamaan momentum seperti yang disajikan dalam monografi Lorenz (1967):

Gambar 1. Persamaan momentum, seperti pada Lorenz (1967). Istilah metrik diberi kotak.

Sisi kiri adalah percepatan ke timur, utara dan ke atas. Istilah dengan $\Akhir$ adalah suku Coriolis, yang muncul dari rotasi bumi, dan dua suku terakhir adalah suku gradien tekanan dan gesekan. Kami tertarik di sini dalam dua istilah pertama di sisi kanan setiap persamaan (istilah dalam kotak merah). Masing-masing melibatkan ekspresi kuadrat dalam komponen kecepatan. Tapi dari mana istilah misterius ini berasal?

Asal Istilah Metrik

Kita dapat merepresentasikan kecepatan sebuah “parcel” udara dengan sebuah vektor

$\displaystyle \mathbfv = u \mathbfi + v \mathbfj + w \mathbfw$

di mana $u$ , $v$ dan $w$ adalah komponen ke timur, utara dan ke atas dan $\ \mathbfi, \mathbfj, \mathbfk \$ adalah triad ortogonal satuan. Percepatan, yang diperlukan untuk menuliskan persamaan Newton, adalah turunan waktu dari $\mathbfv$ . Tetapi kita harus memperhitungkan variasi dari vektor satuan $\ \mathbfi, \mathbfj, \mathbfk \$ dari satu tempat ke tempat lain saat paket bergerak. Jadi kita mendapatkan

$\displaystyle \mathbfa = \frac\mathrmd\mathbfv \mathrmdt = \left(\frac\mathrmdu \mathrmd t \mathbfi + \frac\mathrmdv \mathrmdt \mathbfj + \frac\mathrmdw \mathrmdt \mathbfk \right) + \left( u \frac\mathrmd\mathbfi \mathrmd t + v \frac\mathrmd\mathbfj \mathrmdt + w \frac\mathrmd\mathbfk \mathrmdt \right)$

Kelompok pertama dari tiga suku terdiri dari percepatan yang muncul di sisi kiri persamaan Lorenz. Kelompok kedua terdiri dari suku-suku metrik, yang merupakan suku-suku kotak di sisi kanan persamaan pada Gambar 1.

Buku teks, seperti Holton (2004) memberikan derivasi penuh dari istilah metrik. Perawatannya murni kinematik. Pendekatan ini adalah dasar tetapi tidak sepenuhnya transparan. Kami mempertimbangkan di bawah ini bagaimana istilah metrik muncul dalam konteks yang sepenuhnya umum.

Percepatan dalam Tensor

Vektor posisi dalam koordinat Cartesian dengan asal di pusat bumi adalah

$\displaystyle \mathbfx = x \mathbfI + y \mathbfJ + z \mathbfK$

Kami mempertimbangkan perubahan kerangka referensi dari koordinat Cartesian ke sistem lengkung yang sepenuhnya umum dilambangkan $\q^i\$ :

$\displaystyle \mathbfx = \mathbfx(q^i) \,.$

Kita dapat mendefinisikan satu set vektor basis dalam bingkai baru

$\displaystyle \mathbfg_i := \frac\partial\mathbfx\partial q^i$

dan juga dasar timbal balik $\mathbfg^j$ seperti yang $\mathbfg^j\mathbf\cdot\mathbfg_i = \delta_i^j$ . Komponen kecepatan dalam kerangka baru adalah $v^i = \dot q^i$ sehingga $\mathbfv = v^i \mathbfg_i$ . Seperti biasa dalam analisis tensor, kami menggunakan konvensi penjumlahan.

Untuk menghitung percepatan, kita harus mengambil turunan waktu dari kecepatan, dengan mencatat bahwa kedua koefisien $v^i$ dan vektor dasar $\mathbfg_i$ bervariasi:

$\displaystyle \mathbfa := \frac\mathbfd\mathbfv\mathbfdt = \dot v^i \mathbfg_i + v^i \mathbf \dot g_i \,.$

Sejak $\mathbfg_i$ bervariasi dengan posisi, kita dapat menulis $\mathbf\dot g_i = q^j \mathbfg_i, j$ di mana $(\ )_,j$ menunjukkan turunan parsial. Dan $\mathbfg_i, j$ dapat diperluas dalam vektor dasar sebagai

$\displaystyle \mathbfg_i, j = \Gamma^k_ij \mathbfg_k \,.$

Jumlahnya $\Gamma^k_ij$ adalah simbol Christoffel. Mereka adalah ekspresi canggung yang melibatkan turunan dari tensor metrik, tetapi mereka dapat dengan mudah dihitung secara otomatis. Tabel koefisien ini untuk kasus koordinat bola, dari Ehrendorfer (2012), ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Simbol Christoffel untuk koordinat bola standar (Ehrendorfer, 2012). Sembilan simbol yang tidak menghilang dikotak.

Dengan beberapa manipulasi yang relatif mudah, sekarang kita dapat menulis percepatan sebagai

$\displaystyle \mathbfa = [ \dot v^k + v^i v^j \Gamma^k_i j ] \mathbfg_k \,,$

dari mana kita dapat segera membaca komponen percepatan, $a^k = \dot v^k + v^iv^j \Gamma^k_ij$ . Syaratnya $\titik v^k$ adalah orang-orang di sisi kiri sistem Lorenz. Syaratnya $v^iv^j \Gamma^k_ij$ adalah istilah metrik; masing-masing adalah jumlah dari sembilan suku terpisah, tetapi banyak di antaranya adalah nol karena semuanya kecuali sembilan dari $3^3 = 27$ Simbol Christoffel menghilang. Dengan menggunakan nilai koefisien pada Gambar 2, kita dapat mengkonfirmasi bahwa persamaan Lorenz muncul.

Dengan ekspresi untuk percepatan, kita sekarang dapat menulis Hukum Kedua Newton sebagai

$\gaya tampilan f^k = m[ \dot v^k + v^i v^j \Gamma^k_i j ]$

Untuk partikel yang bergerak bebas (tidak ada gaya yang diterapkan), kita mendapatkan persamaan untuk geodesik:

$\displaystyle \frac\mathrmd^2 q^k\mathrmdt^2 + \Gamma^k_ij\frac\mathrmdq^i\mathrm dt\frac\mathrmdq^j\mathrmdt = 0 \,.$

Sebagai bonus, ini juga secara formal identik dengan persamaan untuk garis dunia (empat dimensi) partikel dalam relativitas umum.

Sumber

$\peluru$ Lorenz, Edward N., 1967: Sifat dan Teori Sirkulasi Umum Atmosfer. Monografi Organisasi Meteorologi Dunia.

$\peluru$ Holton, JR, 2004: Pengantar Meteorologi Dinamis. Edisi ke-4, Pers Akademik Elsevier, xii+535~hal.

$\peluru$ Ehrendorfer, Martin, 2012: Model Prediksi Cuaca Numerik Spektral. Soc. ind. aplikasi Matematika. (SIAM), xxv+482 hal. ISBN: 978-1-61197-198-9

$\peluru$ Simmonds, James G., 1994: Sekilas tentang Analisis Tensor. Pegas, ISBN: 978-0-3879-4088-5.

$\star \qquad \star \qquad \star$

Koleksi Baru Artikel ThatsMaths

HARGA SANGAT KURANG DARI Tekan Logika.

Sekarang tersedia juga dalam bentuk hardback

Leave a Comment Cancel reply