Roda Miring di Jalan Aneh

Hello, Selamat datang di wikitanic.com.

Becak dengan tiga roda persegi, masing-masing berukuran berbeda. Gambar dari Museum Matematika, New York.

Bayangkan mencoba bersepeda di sepanjang jalan dengan permukaan bergelombang. Adakah yang bisa dilakukan untuk meminimalkan pasang surut? Secara umum, ini akan sangat sulit, tetapi dalam kasus ideal, solusi sederhana dapat dilakukan.

Roda Elips

Kami mengira bahwa jalan itu membentang di sepanjang $X$ -sumbu, dengan ketinggian bervariasi seperti gelombang sinus

$\displaystyle z = h \cos kx \,,$

Di mana $H$ adalah amplitudo gelombang dan $k=2\pi/L$ adalah bilangan gelombang dengan $L$ panjang gelombang.

Roda elips bergulir sepanjang kurva sinus. Tinggi pusat sama di puncak $x=0$ dan palung $x=L/2$ .

Jika roda sepeda berbentuk lingkaran, bagian tengahnya akan naik dan turun bersama jalan, sehingga membuat perjalanan menjadi tidak nyaman bagi pengendara. Jadi, kami membuat roda elips. Dalam posisi standar, persamaan elips adalah

$\displaystyle \fracx^2a^2 + \fracz^2b^2 = 1$

Kami ingin memilih parameter bentuk $A$ Dan $B$ untuk memenuhi kondisi berikut:

Pusat elips tetap pada ketinggian konstan saat roda berputar.

Mari kita hitung jarak sepanjang permukaan jalan dengan panjang gelombang penuh. Panjang busur adalah $\mathds^2 = \mathdx^2 + \mathdz^2 = (1+z^\prime 2) \mathdx^2$ Di mana $z^\prime = \mathrmdz/\mathrmdx$ . Sejak $z^\prime = - kh\sin kx$ ini berarti bahwa jarak jalan dalam rentang panjang $L$ adalah

$\displaystyle S = \int_0^L \sqrt 1+(kh)^2 \sin^2 kx \,\mathrmdx$

Berasumsi bahwa $h\ll$ sehingga $\varepsilon = kh \ll 1$ kita dapat memperkirakannya dengan dua suku pertama dalam sebuah $\varepsilon$ -ekspansi:

$\displaystyle S \kira-kira [ 1 + \textstyle\frac14\varepsilon^2 ] L$

Kami membutuhkan roda untuk membuat satu putaran untuk setiap panjang gelombang. Jadi, keliling harus sama dengan $S$ . Kami menggunakan rumus perkiraan $C = \pi(a+b)$ yang memiliki akurasi yang baik untuk eksentrisitas elips $e \lesssim \frac23$ [TM1]. Lalu kita punya

$\displaystyle \pi (a + b) \kira-kira S \ \ \ \ \ (1)$

Kami berasumsi bahwa, ketika pusat elips berada di atas puncak jalan, $kx\equiv 0\, (\mboxmod\,2\pi)$ sumbu panjangnya mendatar dan pusatnya berada di ketinggian $z=b + h$ . Ketika pusat berada di atas palung, $kx\equiv \pi\, (\mboxmod\,2\pi)$ sumbu panjangnya vertikal dan pusatnya berada di ketinggian $z=a - h$ . Agar ketinggian ini sama, kami membutuhkan

$\displaystyle a - b = 2h \ \ \ \ \ (2)$

Persamaan. (1) dan (2) memungkinkan kita untuk menghitung $A$ Dan $B$ dengan kondisi $H$ Dan $\varepsilon$ .

Nilai parameter untuk contoh yang ditunjukkan pada Gambar di atas adalah $L=2\ft$ , $k=1$ , $j=0,2$ Dan $\varepsilon=0.2$ . Jarak jalan terhadap panjang $L$ adalah $S=6,34555$ dan pendekatan orde kedua adalah $S=6,34602$ . Nilai semi-sumbu elips adalah $a=1,21$ , $b=0,81$ dan eksentrisitas adalah $e=0,743$ .

Tidak ada jaminan bahwa tinggi gandar elips yang menggelinding pada gelombang sinus tetap konstan; memang, kita harus mengharapkan beberapa variasi tetapi, untuk parameter yang dipilih, itu harus kecil. Analisis yang tepat akan mengungkapkan variasi ketinggian yang tepat pada panjang gelombang. Tidak diragukan lagi, itu akan melibatkan fungsi elips Jacobian, “matahari”, “cun” dan “dun” [TM2].

Roda Persegi

Jika menurut Anda roda elips itu aneh, lihat gambar di bagian atas artikel ini. itu dari dari MoMathMuseum Matematika di New York, tempat pengunjung dapat menaiki sepeda roda tiga dengan roda persegi dengan mulus [SWT].

Benjolan di trek yang dirancang dengan cerdik, dibuat menggunakan catenaries terbalik, memastikan pengendara mengikuti jalur horizontal yang kurang lebih. Ketiga roda sepeda roda tiga memiliki ukuran yang berbeda, karena berbeda dengan jarak dari pusat lintasan. Roda belakang terhubung melalui gearbox, yang mengkompensasi ukuran roda yang berbeda dan menjaganya tetap sinkron. Berbakat!

Roda persegi di jalan busur melingkar. Kiri: posisi awal di palung. Kanan: roda di palung, puncak dan palung berikut.

Kami melakukan analisis cepat roda persegi pada permukaan yang terdiri dari urutan kuadran melingkar; lihat Gambar di atas. Panjang sisi roda persegi sama dengan panjang busur kuadran, sehingga roda berputar melalui sudut siku-siku saat titik kontak bergerak dari satu alur ke alur berikutnya. Nilai jari-jari dan panjang busur adalah $r=1$ Dan $a= \pi r/2$ . Tinggi minimum poros, ketika bujur sangkar berada di puncak, adalah $(1+\pi/4)r$ . Tinggi maksimum, dengan sudut dalam alur, adalah $(1+\pi/2)r/\sqrt2$ . Untuk parameter yang dipilih, tinggi gandar minimum adalah $1.785$ dan tinggi maksimum adalah $1.818$ A $2\%$ perbedaan. Sedikit perbedaan, terlihat pada Gambar, mungkin tidak akan menyebabkan terlalu banyak ketidaknyamanan pada kecepatan rendah.

Stan Wagon, dalam bukunya Matematika dalam Tindakan [WAG]membahas bagaimana pusat roda persegi akan tetap pada ketinggian konstan di jalan di mana kuadran melingkar digantikan oleh segmen katener ( $z = z_0 -h\cosh kx$ ). Gambar di bawah ini [from WAG] menunjukkan lintasan titik sudut roda dan garis horizontal pusat. Foto menunjukkan penulis mengendarai sepeda roda tiga. Untuk rincian lebih lanjut, lihat Gerobak (2010).

Lintasan suatu titik di tepi sepeda roda tiga beroda persegi di jalan busur katener.

Lintasan suatu titik di tepi sepeda roda tiga beroda persegi di jalan busur katener.

Sumber

$\peluru$ [TM1] Postingan ThatsMaths, 8 Juli 2021: Mendekati Lingkar Elips. URL

$\peluru$ [TM2] Posting ThatsMaths, 14 November 2019: Elliptic Trigonometri: Bersenang-senang dengan “matahari” “cun” dan “dun”. URL

$\peluru$ [SWT] Mathcom Wiki: Sepeda Roda Tiga Beroda Persegi: URL

$\peluru$ [WAG] Gerobak, Stan, 2010: Matematika dalam Tindakan. Springer, 578pp. ISBN: 978-0-3877-5366-9.

Leave a Comment Cancel reply