Bukti Topologi Teorema Euclid

Hey, Selamat datang di wikitanic.com.

Dua belas baris bukti topologi Teorema Euclid oleh Hillel Furstenberg.

Teorema (Euclid): Ada tak terhingga banyaknya bilangan prima.

Bukti Euclid tentang hasil ini klasik. Ini sering digambarkan sebagai bukti dengan kontradiksi tetapi, pada kenyataannya, Euclid menunjukkan bagaimana, diberikan daftar bilangan prima sampai titik mana pun, kita dapat menemukan, dengan proses terbatas, bilangan prima lain; jadi, buktinya konstruktif.

Dalam artikel terbaru di Majalah Quanta, Anna Kramer (2023) menulis tentang mengapa ahli matematika terus mencari bukti baru dari hasil yang diketahui kebenarannya. Salah satu contoh yang dianggapnya adalah Teorema Euclid tentang ketakterhinggaan bilangan prima. Ratusan bukti dari teorema ini telah ditemukan, yang paling luar biasa adalah bukti tahun 1955 oleh Hillel Furstenberg, yang menggunakan topologi himpunan titik.

Tidak seperti pembuktian klasik Euclid, pembuktian Furstenberg adalah pembuktian dengan kontradiksi. Buktinya diterbitkan pada tahun 1955, ketika Furstenberg masih menjadi mahasiswa sarjana di Universitas Yeshiva di New York.

Bukti Furstenberg

Furstenberg mendefinisikan topologi \mathscrO pada bilangan bulat \mathbbZitu topologi bilangan bulat yang berjarak samamenggunakan sebagai basis deret aritmatika (dua kali tak hingga).

\displaystyle S(a,b)=\an+b\mid n\in\mathbbZ \ = a\mathbbZ + b \,.

Sebuah subset U \subseteq \mathbbZ terbuka jika dan hanya jika merupakan gabungan dari barisan aritmetika S(a, b) untuk a \ne 0, atau merupakan himpunan kosong. Jelas bahwa U terbuka jika dan hanya jika, untuk setiap x\in Uada beberapa bilangan bulat bukan nol A seperti yang S(a, x) \subseteq U.

Aksioma untuk topologi mudah ditampilkan untuk dipegang \mathscrO:

Ada dua sifat kunci dari topologi \mathscrO yang digunakan dalam pembuktian:

  1. Setiap himpunan terbuka tak kosong berisi barisan tak terhingga; oleh karena itu, tidak ada himpunan terbatas tak kosong yang terbuka. Dengan demikian, komplemen dari himpunan tersebut tidak dapat ditutup.
  2. Basis ditetapkan S(a,b) keduanya terbuka dan tertutup. Mereka terbuka menurut definisi, dan kita bisa menulis

    \displaystyle S(a,b) = \mathbbZ \setminus \bigcup_n=1^a-1S(a,b+n).

    sehingga S(a,b) adalah komplemen dari himpunan terbuka.

Sekarang Furstenberg mengamati bahwa satu-satunya bilangan bulat yang bukan merupakan kelipatan bilangan bulat dari bilangan prima adalah +1 Dan -1. Karena itu

\displaystyle \bigcup_p\,\mathrmprime S(p,0) = \mathbbZ \setminus \-1,+1\ \,.  \ \ \ \ \ (1)

Sekarang sifat pertama di atas — bahwa komplemen dari himpunan tak kosong tak dapat ditutup — mengimplikasikan himpunan itu \mathbbZ \setminus \-1,+1\ tidak dapat ditutup. Dengan properti kedua, set S(p,0) tutup. Tapi, jika hanya ada banyak bilangan prima, serikat terbatas \bigcup_p S(p,0) set tertutup juga akan ditutup. Kemudian (1) akan mengimplikasikan persamaan antara himpunan tertutup (di sebelah kiri) dan himpunan tidak tertutup (di sebelah kanan). Kontradiksi ini memaksa kita sampai pada kesimpulan bahwa ada tak terhingga bilangan prima.

Argumen di atas pada dasarnya adalah yang dikemukakan oleh Furstenberg, dan mirip dengan bukti yang diberikan dalam Wikipedia artikel “Bukti Furstenberg tentang ketidakterbatasan bilangan prima.”

Diskusi

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga :  Mengapa Geometri Penting? (Dan Bagaimana Anda Dapat Mendapat Manfaat?)

Mercer (2009) memberikan variasi bukti Furstenberg yang menghindari bahasa topologi. Ini menunjukkan bahwa teknik penting yang digunakan dalam pembuktian adalah aritmatika, dan tidak memerlukan ide topologi tingkat lanjut. Namun, bukti Mercer tidak memiliki keterusterangan seperti Furstenberg (walaupun ini sebagian besar adalah masalah selera).

Hillel (alias Harry) Furstenberg (b. 1935).

Furstenberg masih kuliah ketika buktinya diterbitkan. Panjangnya hanya dua belas baris dan memiliki sifat keanggunan yang sangat dihargai oleh ahli matematika. Tentu saja, kita harus mengakui bukti asli Euclid juga luar biasa karena keanggunannya, dan konstruktif, sedangkan bukti topologi Furstenberg adalah kontradiksi.

Furstenberg memiliki karir yang cemerlang, memberikan kontribusi dalam beberapa disiplin ilmu. Pada tahun 1955, dia lulus dari Yeshiva College setelah mendapatkan gelar BA dan MSc. Dia telah menerbitkan sejumlah makalah dengan miliknya Perhatikan salah satu jenis bentuk tak tentu (1953) dan Pada ketidakterbatasan bilangan prima (1955) keduanya muncul di American Mathematical Monthly.

Furstenberg belajar di Universitas Princeton untuk gelar doktornya, diawasi oleh Salomon Bochner, dan dianugerahi gelar doktornya pada tahun 1958. Tesis ini diterbitkan pada tahun 1960 sebagai Proses stasioner dan teori prediksi. Furstenberg bekerja sebagai Instruktur di Massachusetts Institute of Technology, dan di Departemen Matematika di University of Minnesota, di mana dia menjadi anggota kelompok yang mengerjakan teori probabilitas. Pada tahun 1965, dia diangkat Profesor Matematika di Universitas Ibrani Yerusalem. Furstenberg tetap di Universitas Ibrani sampai pensiun pada tahun 2003.

Furstenberg memenangkan banyak penghargaan untuk karya matematikanya: Penghargaan Israel, sebuah penghargaan yang dibuat oleh Negara Israel dan dianggap sebagai penghargaan tertinggi negara, pada tahun 1993 dan, pada tahun yang sama, Penghargaan Harvey, diberikan setiap tahun oleh Technion di Haifa, untuk “pekerjaan terobosan dalam teori dan probabilitas ergodik, grup Lie, dan dinamika topologi.” Pada tahun 2007, dia memenangkan Wolf Prize “atas kontribusinya yang mendalam pada teori ergodik, probabilitas, dinamika topologi, analisis ruang simetris, dan aliran homogen.”

Sumber

\peluru Furstenberg, Harry Furstenberg, 1955: Tentang Ketidakterbatasan Bilangan Prima. Amer. Matematika. Bulanan, 62(5), hal. 353 (1 halaman).

\peluru Golomb, Solomon W., 1959: Topologi Terhubung untuk Bilangan Bulat Amer. Matematika. Bulanan, 66(8), hlm. 663-665.

\peluru Anna Kramer, 2023: Mengapa Ahli Matematika Membuktikan Ulang Apa yang Sudah Mereka Ketahui. Majalah Quanta.

\peluru Mercer, Idris D. (2009). Tentang Bukti Ketakterhinggaan Bilangan Prima dari Furstenberg. Amer. Matematika. Bulanan, 116(4), hlm. 355–356.

\peluru biografi MacTutor dari Hillel Furstenberg.

\peluruArtikel Wikipedia: Bukti Furstenberg tentang ketidakterbatasan bilangan prima.

Author: admin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *