Teorema Binomial

Jika seseorang ingin mengetahui jumlah jatuh tempo setelah 10 tahun dari sejumlah uang yang disimpan di bank dengan tingkat bunga majemuk 8% per tahun atau untuk mengetahui ukuran populasi negara kita setelah 15 tahun jika tingkat pertumbuhan tahunan dan sekarang ukuran populasi diketahui,

Teorema binomial membantu kita menemukan besaran-besaran di atas. Koefisien yang muncul dalam ekspansi binomial (a + b)ⁿ, n N, disebut koefisien binomial. Teorema binomial memainkan peran penting dalam menentukan probabilitas peristiwa ketika percobaan acak melibatkan ruang sampel yang terbatas dan setiap hasil adalah sukses atau gagal.

Teorema Binomial

Teorema binomial menyatakan prinsip untuk memperluas binomial (x + y)ⁿ dan menyatakannya sebagai jumlah dari suku-suku yang melibatkan eksponen individual dari variabel x dan y. Setiap istilah dalam ekspansi binomial dikaitkan dengan nilai numerik yang disebut koefisien.

segitiga pascal

Segitiga Pascal adalah susunan dari nilai-nilai ⁿC_r dalam bentuk segitiga. (k + 1)^st baris terdiri dari nilai

^kC₀, ^kC₁, ^kC₂, ^kC₃……..^kC_k

Nyatanya, segitiga Pascal adalah

Ingat ekspansi dan amati koefisien dari setiap suku identitas

(a + b)⁰(a + b)¹(a + b)²(a + b)³

Ada pola dalam pengaturan koefisien.

Jika kita mengamati dengan cermat segitiga Pascal, kita mungkin memperhatikan bahwa setiap baris dimulai dan diakhiri dengan 1 dan entri lainnya adalah jumlah dari dua angka tepat di atasnya. Misalnya ‘3’ adalah jumlah dari 1 dan 2 di atasnya; ’10’ adalah jumlah dari 4 dan 6 di atasnya. Kami akan membuktikan dalam waktu singkat bahwa

(x + y)ⁿ = ⁿC₀xⁿ + ⁿC₁x^n-1kamu¹ + ⁿC₂x^n-2kamu² + ⁿC₃x^n-3kamu³…………. ……………..+ ⁿC_rx^tidakkamu^r + …….. ⁿC_nkamuⁿ

yang merupakan ekspansi binomial dari (a + b)ⁿ. Ekspansi binomial dari (a + b)ⁿ untuk setiap n N dapat ditulis menggunakan segitiga Pascal. Misalnya, dari baris kelima kita dapat menuliskan ekspansi dari (a + b)⁴ dan dari baris keenam kita dapat menuliskan ekspansi dari (a + b)⁵ dan seterusnya.

Kita mengetahui suku-suku (tanpa koefisien) dari (a + b)⁵ adalah

sebuah⁵sebuah⁴b, a³b²sebuah²b³ab⁴b⁵

dan baris keenam segitiga pascal adalah

1 5 1 0 1 0 5 1

Dengan menggunakan keduanya kita dapat menulis

(a + b)⁵ =⁵ + a⁴b + a³b² + a²b³ + ab⁴ + b⁵

Segitiga Pascal dapat dibangun menggunakan tambahan satu, tanpa menggunakan perkalian atau pembagian. Jadi tanpa perkalian kita dapat menuliskan ekspansi binomial untuk (a + b)ⁿ untuk sembarang n N. Pola di atas yang menyerupai segitiga, dikreditkan atas nama Matematikawan Prancis abad ketujuh belas Blaise Pascal, yang mempelajari sifat matematika dari struktur ini dan menggunakan konsep ini secara efektif dalam Teori Probabilitas.

Teorema Binomial untuk Indeks Integral Positif

Jika x dan y bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka

(x + y)ⁿ = ⁿC₀xⁿ + ⁿC₁x^n-1kamu¹ + ⁿC₂x^n-2kamu² + ⁿC₃x^n-3kamu³…………. ……………..+ ⁿC_rx^tidakkamu^r + …….. ⁿC_nkamuⁿ

di mana ⁿC_r = n!/[(n – r)!r!] untuk 0 r n.

Istilah umum atau (r + 1)^th istilah dalam ekspansi diberikan oleh

T_{r + 1} = ⁿC_rx^tidakkamu^r

Kita telah belajar bagaimana mengalikan binomial dengan dirinya sendiri. Menemukan kuadrat dan pangkat tiga dari binomial dengan perkalian sebenarnya tidaklah sulit.

Tetapi proses menemukan ekspansi binomial dengan kekuatan yang lebih tinggi seperti (x + a)¹⁰(x + a)¹⁷(x + a)²⁵ dll menjadi lebih sulit. Oleh karena itu kami mencari rumus umum yang akan membantu kami dalam menemukan ekspansi binomial dengan kekuatan yang lebih tinggi. Kami tahu itu

(x + a)¹ = x + a = 1C₀x¹sebuah⁰+ 1C₁x⁰sebuah¹

(x + a)² = x² + 2x + a²

= 2C₀x²sebuah⁰ +2C₁x¹sebuah¹ +2C₂x⁰sebuah²

(x + a)³ = x³ + 3x²a + 3xa² + a³

= 3C₀x³sebuah⁰ + 3C₁x²sebuah¹ + 3C₂x¹sebuah² + 3C₃x⁰sebuah³

(x + a)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x²sebuah² + 4 kali³ + a⁴

= 4C₀x⁴sebuah⁰ + 4C₁x³sebuah¹ + 4C₂x²sebuah² + 4C₃x¹sebuah¹ + 4C₄x⁰sebuah⁴

Untuk n = 1, 2, 3, 4 ekspansi dari (x + a)ⁿ telah diungkapkan dengan sangat sistematis dalam hal koefisien kombinatorial. Di atas ekspresi menyarankan dugaan bahwa (x + a)ⁿ harus dapat diekspresikan dalam membentuk,

(x + a)ⁿ

= ⁿC₀xⁿsebuah⁰ + ⁿC₁x^{n – 1}sebuah¹ + ⁿC₂x^{n – 2}sebuah² + ……………

+ ⁿC_n-1 x¹sebuah^n-1 + ⁿC_n x⁰sebuahⁿ

Keterangan dalam Teorema Binomial

1. Pada pemuaian di atas, kekuatan x akan berkurang dan kekuatan a akan bertambah. istilah umumnya adalah

ⁿC_rx^tidaksebuah^r

Karena ini tidak lain adalah (r + 1)^th suku, dilambangkan dengan T_r+1

T_{r + 1} = ⁿC_rx^tidaksebuah^r

2. (n + 1)^th istilahnya adalah T_n+1 = ⁿC_nxⁿⁿsebuahⁿ = ⁿC_nsebuahⁿistilah terakhir.

Jadi ada (n + 1) istilah dalam perluasan (x + a)ⁿ

3. Derajat x pada setiap suku berkurang sedangkan derajat ‘a’ meningkat seperti bahwa jumlah pangkat pada setiap suku sama dengan n. Kita bisa menulis

 

4. ⁿC₀, ⁿC₁, ⁿC₂…., ⁿKr, …….., ⁿC_n disebut koefisien binomial. Mereka juga ditulis sebagai C₀C₁ C₂….…, C_n.

5. Dari relasi ⁿC_r = nC_tidakkita melihat bahwa koefisien suku-suku yang berjarak sama dari awal dan akhir adalah sama.

Jangka Menengah dalam Ekspansi Binomial

Banyaknya suku pada pemuaian (x + a)ⁿ tergantung pada indeks n. Indeksnya genap (atau) ganjil.

Mari kita cari istilah tengahnya.

Kasus (i) : n genap

Banyaknya suku dalam pemuaian adalah (n + 1), yang ganjil. Oleh karena itu, hanya ada satu suku tengah dan diberikan oleh T_(t/2) + 1

Kasus (ii) : n ganjil

Banyaknya suku dalam pemuaian adalah (n + 1), yang genap. Karenanyaada dua suku tengah dan diberikan oleh T_{(n + 1)/2} dan T_{(n + 3)/2}

Silakan kirimkan tanggapan Anda ke [email protected]

Kami selalu menghargai umpan balik Anda.