Hi, Selamat datang di wikitanic.com.
Kalkulus adalah studi matematika tentang perubahan terus menerus yang memiliki dua cabang utama:
1. Derivatif (atau kalkulus diferensial)
2. Anti-turunan (atau kalkulus integral)
Derivatif mengukur laju perubahan dalam satu variabel atau kuantitas sehubungan dengan perubahan yang terjadi pada variabel atau kuantitas lain.
Misalnya, mari x menjadi variabel bebas dan kamu menjadi variabel terikat yang bergantung pada x.
Sejak kamu tergantung pada xkita bisa menulis kamu sebagai fungsi x.
y = f(x)
kamu akan mendapatkan nilai yang berbeda untuk nilai yang berbeda dari x.
Misal y = x2 + 3.
x = 1 —-> y = 12 + 3 = 4
x = 2 —-> y = 22 + 3 = 7
x = 3 —-> y = 32 + 3 = 12
x = 4 —-> y = 42 + 3 = 19
Dari kerja di atas, jelas bahwa untuk nilai yang berbeda dari xkita mendapatkan nilai yang berbeda dari kamu.
Jadi, nilai kamu berubah sesuai dengan perubahan nilai x.
Oleh karena itu, laju perubahan kamu adalah sehubungan dengan perubahan x.
Kita dapat menemukan turunan dari y terhadap x. Itu adalah
dy/dx
Turunan juga dapat didefinisikan sebagai kemiringan kurva pada beberapa nilai x.
Aturan Daya Turunan
Aturan pangkat turunan adalah alat dasar untuk menemukan turunan dari suatu fungsi f(x) yang berbentuk
f(x) = xn
Untuk mendapatkan turunan dari xnkita harus membawa eksponennya n di depan x dan kurangi 1 dari eksponen.
f'(x) = nxn – 1
Tentukan turunan dari masing-masing berikut.
Contoh 1 :
f(x) = x3
f'(x) = 3x3 – 1
= 3x2
Contoh 2 :
f(x) = x2
f'(x) = 2x2 – 1
= 2x1
= 2x
Turunan dari Konstanta
Pada bagian di atas, kita telah melihat bahwa turunan dari kamu mengukur perubahan kamu sehubungan dengan perubahan variabel lain x.
Bagaimana jika kamu adalah sebuah konstanta?
Jika kamu adalah konstan, maka tidak ada perubahan. Jika kita mengukur laju perubahan besaran yang tidak berubah atau tetap, hasilnya akan selalu nol.
Karena, jika ada perubahan pada y dan kita mengukur laju perubahannya, kita akan mendapatkan beberapa hasil selain nol. Tapi jika kamu tetap atau tidak berubah, maka laju perubahan kamu adalah nol.
Oleh karena itu, turunan dari setiap konstanta adalah nol.
Contoh 3 :
Seorang sopir taksi mengenakan biaya $5 per mil yang ditempuh penumpang. Jika kamu mewakili biaya untuk bepergian dengan taksi dan x mewakili mil yang ditempuh, maka laju perubahan kamu adalah 5/1 atau 5. Artinya, nilai kamu mendapatkan perubahan sebesar 5 unit untuk setiap perubahan 1 unit x.
Lebih jelas lagi, biaya perjalanan dengan taksi meningkat sebesar $5 untuk kenaikan setiap mil.
Oleh karena itu, turunan dari kamu dengan hormat x adalah 5.
Contoh 4 :
Seorang sopir taksi memiliki paket tetap sebesar $100 per hari untuk bepergian di dalam kota. Di sini, jika seorang penumpang melakukan perjalanan 1 mil atau dua mil atau beberapa mil di dalam kota dalam sehari, ia harus membayar $100 per hari.
Membiarkan kamu mewakili biaya untuk bepergian dengan taksi dan x mewakili mil perjalanan. Maka laju perubahan kamu adalah 0. Karena, nilai kamu adalah tetap (atau konstan), yaitu 100.
Oleh karena itu, turunan dari kamu dengan hormat x adalah 0.
Aturan Koefisien Konstan
Turunan suatu variabel dengan koefisien konstan sama dengan konstanta kali turunan variabel tersebut.
Artinya, jika ada variabel x dengan konstanta dalam perkalian atau pembagian, kita akan mempertahankan konstanta itu dan mencari turunan dari variabel itu sendiri.
Tentukan turunan dari masing-masing berikut.
Contoh 5:
f(x) = 5x3 + 3x2
Dengan menggunakan aturan pangkat turunan,
f'(x) = 5(3x3 – 1) + 3(2x2 – 1)
= 5(3x2) + 3(2x1)
= 15x2 + 6x
Contoh 6:
f(x) = x3/3
Dengan menggunakan aturan pangkat turunan,
f'(x) = (3x3 – 1)/3
= (3x2)/3
= (3/3)x2
= x2
Contoh 7 :
f(x) = -7/x2
f(x) = -7x -2
Dengan menggunakan aturan pangkat turunan,
f'(x) = -7(-2x -2 – 1)
= -7(-2x -3)
= -7(-2/x 3)
= 14/x 3
Contoh 8 :
f(x) = 5x3 + 3
Dalam fungsi di atas, kita memiliki dua konstanta 5 dan 3. Konstanta 5 dikalikan dengan variabel x3 dan 3 tinggal sendiri tanpa variabel.
Ketika kita menemukan turunan dari f(x) = 5x3 + 3, kita harus menjaga konstanta 5 apa adanya. Karena 5 dikalikan dengan variabel x3. Turunan dari 3 adalah nol, karena tidak dengan variabel.
f(x) = 5x3 – 3
Dengan menggunakan aturan pangkat turunan,
f'(x) = 5(3x3 – 1) – 0
= 5(3x2)
= 15x2
Turunan dari Akar Kuadrat dari x
Kita dapat menemukan turunan dari akar kuadrat dari x dengan hormat x menggunakan aturan pangkat turunan.
f(x) = x
Tulis akar kuadrat sebagai eksponen 1/2.
f(x) = x1/2
Gunakan aturan pangkat turunan.
f'(x) = (1/2)x1/2 – 1
= (1/2)x-1/2
= 1/(2x1/2)
= 1/(2x)
Jadi, turunan dari x dengan hormat x adalah 1/(2x).
Turunan dari x terhadap x
Kita dapat menemukan turunan dari x dengan hormat x menggunakan aturan pangkat turunan.
f(x) = x
f(x) = x1
Gunakan aturan pangkat turunan.
f'(x) = 1x1 – 1
= 1x0
= 1(1)
= 1
Jadi, turunan dari x dengan hormat x adalah 1.
Kami dapat memperluas konsep ini ke variabel apa pun seperti kamu atau t.
Turunan dari kamu dengan hormat kamu adalah 1.
Turunan dari t dengan hormat t adalah 1.
Kemiringan Kurva Menggunakan Derivatif
Langkah-langkah berikut akan berguna untuk menemukan kemiringan kurva pada beberapa nilai x.
Langkah 1 :
Tentukan turunan dari fungsi f(x) yang mewakili kurva.
Langkah 2 :
Substitusikan nilai yang diberikan dari x menjadi turunan dari f(x).
Contoh 9 :
Tentukan kemiringan kurva f(x) = 3x3 + 5 pada x = -2.
f(x) = x3 + 5
f'(x) = 3x3 – 1 + 0
f'(x) = 3x2 + 0
f'(x) = 3x2
Substitusi x = -2.
f'(-2) = 3(-2)2
= 3(4)
= 12
Kemiringan kurva yang diberikan pada x = -2 adalah 12.
Contoh 10 :
Tentukan gradien garis f(x) = 2x – 3 di x = 3.
f(x) = 2x – 3
f'(x) = 2(1) – 0
f'(x) = 2
Substitusi x = 3.
f'(3) = 2
Dalam turunan f'(x) = 2, jika kita mensubstitusi nilai apa pun untuk x, kita hanya akan mendapatkan 2 di ruas kanan. Karena tidak ada variabel x di sisi kanan.
Dari sini, kita dapat memahami bahwa kemiringan suatu garis adalah konstanta. Artinya, untuk setiap nilai x, kemiringan suatu garis akan sama.
Jadi, gradien garis tersebut adalah 2.
Silakan kirimkan tanggapan Anda ke info@wikitanic.com
Kami selalu menghargai umpan balik Anda.
©Seluruh hak cipta. wikitanic.com
