Hey, Selamat datang di wikitanic.com.
Beberapa peneliti telah mengamati bahwa, dalam berbagai kumpulan data numerik, digit desimal terdepan — atau paling signifikan — tidak terdistribusi secara seragam, tetapi sesuai dengan distribusi logaritmik. Dari sembilan nilai yang mungkin, terjadi lebih dari dari waktu sementara ditemukan kurang dari kasus (lihat Gambar di atas). Secara khusus, distribusi probabilitas adalah
Bentuk hukum yang lebih lengkap memberikan probabilitas untuk digit kedua dan selanjutnya. Pembahasan lengkap tentang Hukum Benford diberikan dalam Berger dan Hill (2015).
Kami mendefinisikan set Benford untuk sebagai
Kepadatan relatif dari dalam jangkauan dapat ditulis
Di mana . Ini berosilasi antara Dan sebagai meningkat, dan tidak mendekati batas. Secara khusus, himpunan tidak memiliki kerapatan alami. Namun, kami dapat menetapkan probabilitas nomor arbitrer masuk mengikuti ide-ide yang diuraikan dalam Diaconis dan Skyrmes (2018) dan, secara lebih rinci, dalam Tenenbaum (1995) [Earlier post: How many numbers begin with a 1?]
Metode Rata-Rata
Urutan yang berbeda berperilaku berbeda. Angka Fibonacci sesuai dengan Hukum Benford: frekuensi relatif dari digit terdepan konvergen ke Kepadatan himpunan bilangan Fibonacci yang dimulai dengan adalah Urutan bilangan prima tidak bukan mengikuti Hukum Benford. Untuk deret bilangan asli, densitas relatif berosilasi, dengan Dan .
Untuk satu set kepadatan dapat didefinisikan sebagai
Ini adalah contoh dari rata-rata Cesaro, yang menetapkan bobot ke masing-masing yang pertama ketentuan.
Ada beberapa cara alternatif untuk menentukan kerapatan. Kepadatan harmonik menggantikan bobot seragam dengan urutan menurun
Angka-angka dikenal sebagai bilangan harmonik. Seperti diketahui, deret harmonik menyimpang, jadi . Diaconis dan Skyrmes (2018) menjelaskan generalisasi dari (2):
Untuk konvergen dengan fungsi Riemann zeta .
Pada Gambar di atas, kami menunjukkan frekuensi relatif untuk digit pertama dari sebuah angka (kurva biru) dan (kurva merah) untuk bervariasi dari ke . Hal ini menggambarkan bahwa, untuk frekuensi berosilasi antara batas kira-kira Dan .
Pada Gambar di bawah ini, kami menunjukkan frekuensi relatif untuk digit pertama dari suatu bilangan , di mana rata-rata logaritmik (2) digunakan. Indikasinya adalah frekuensi berosilasi dengan pengurangan amplitudo dan cenderung ke batas sekitar 0,3, sesuai dengan Hukum Benford.
Distribusi Logaritmik
Kami melihat bahwa frekuensi terjadinya sebagai digit terdepan mengikuti hukum logaritmik. Tapi dari mana ini berasal? Jika kita menganggap bahwa semua nomor dalam jangkauan mungkin terjadi dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam
tepat. Ini mengarah pada kesimpulan bahwa semua angka desimal harus terjadi dengan probabilitas yang sama (karena nol tidak bisa menjadi digit terdepan). Namun, kami dapat berargumen bahwa angka yang lebih kecil lebih mungkin daripada yang lebih besar dan menetapkan distribusi lain, seperti distribusi logaritmik. Kita ingat bahwa bilangan harmonik asimtotik terhadap fungsi logaritmik . Jadi, untuk perkiraan yang baik, probabilitas bahwa angka yang dipilih secara acak berada dalam kisaran adalah .
Sekarang pertimbangkan `dekade’ angka . Probabilitas bahwa pilihan acak dalam interval ini adalah sedangkan angka dengan digit terdepan (dalam selang waktu ) terjadi dengan probabilitas . Dengan demikian, frekuensi relatif bilangan dengan digit terdepan adalah
atau sekitar . Ini adalah kasus khusus Hukum Benford untuk . Kasus yang tersisa dapat ditunjukkan dengan cara yang sama.
Sumber
Berger, Arno dan Theodore P. Hill, 2015: Pengantar Hukum Benford. Universitas Princeton. Tekan, 248pp. ISBN: 978-0-691-16306-2.
Deacon, Persi dan Brian Skyrms, 2018: Sepuluh Ide Hebat Tentang Peluang. Universitas Princeton. Tekan, 255 halaman [See Chapter 5].
Tenenbaum, Gerald, 1995: Pengantar Teori Bilangan Analitik dan Probabilistik. Pers Universitas Cambridge. ISBN 0-521-41261-7.
Thatsmaths: Berapa banyak angka yang dimulai dengan 1?