Kelengkungan dan Lingkaran Oskulasi

Hello, Selamat datang di wikitanic.com.

Kelengkungan sangat penting dalam berbagai konteks. Contohnya ditunjukkan pada gambar di atas, peta arena pacuan kuda Formula 1 Silverstone. Tikungan tajam (kelengkungan tinggi) memaksa pengendara mengurangi kecepatan secara drastis.

Konsep Kelengkungan

Kelengkungan adalah konsep dasar dalam geometri diferensial. Kelengkungan kurva bidang adalah ukuran seberapa banyak ia menyimpang dari garis lurus. Kita dapat menghitung kelengkungan sebagai batas sudut yang dilalui garis singgung pada suatu titik saat titik bergerak melalui jarak kecil di sepanjang kurva.

Contoh kurva paling sederhana adalah lingkaran. Saat sebuah titik bergerak mengelilingi lingkaran, kurva garis singgung berputar melalui rotasi penuh. Jadi, kelengkungannya adalah

$\displaystyle \kappa = \frac\mboxPerubahan Arah\mboxJarak yang Ditempuh = \frac2\pi2\pi R = \frac1R \,.$

Jadi, sebuah lingkaran memiliki kelengkungan yang sama dengan kebalikan dari jari-jari. Garis lurus adalah kasus pembatas lingkaran karena jari-jarinya menjadi tak terhingga, dan kelengkungannya cenderung nol.

Secara umum, kelengkungan suatu kurva terdiferensiasi pada suatu titik adalah kelengkungan lingkaran yang paling dekat mendekati kurva di dekat titik tersebut, yang disebut lingkaran oskulasi. Kita dapat memilih tiga titik pada kurva dan menentukan lingkaran yang melewatinya. Saat tiga titik menyatu menjadi satu titik, lingkaran ini menjadi lingkaran berosilasi, dan jari-jarinya menentukan kelengkungan pada titik tersebut.

Perhitungan Langsung Kelengkungan

Fig. 1. Mengubah kemiringan antara titik-titik di $y=f(x)$ .

Kami mengevaluasi suatu fungsi $y = f(x)$ pada titik $P_2=(x_2,y_2)$ dan di dua tetangga $P_1=(x_1,y_1)$ dan $P_3=(x_3,y_3)$ di mana $x_1 = x_2 - \Delta x$ dan $x_3 = x_2 + \Delta x$ (lihat Gambar 1). Kami mendefinisikan gradien rata-rata

$\displaystyle m_12 = \fracy_2-y_1\Delta x \,, \qquad m_23 = \fracy_3-y_2\Delta x \,.$

Turunan kedua di $x_2$ adalah

$\displaystyle y_2^\prime\prime \approx \fracm_23-m_12\Delta x \ \ \ \ \ (1)$

Sudut singgung pada interval $[x_1,x_2]$ dan $[x_2,x_3]$ adalah

$\displaystyle \theta_1 = \arctan m_12 \qquad \theta_2 = \arctan m_23$

Kemudian menggunakan hasil standar untuk selisih dua garis singgung busur,

$\displaystyle \Delta\theta = \arctan\left(\fracm_23-m_121+m_12m_23\kanan) \approx \fracm_23- m_121+m_12m_23 \,.$

Menggunakan (1) dan mendekati $m_12$ dan $m_23$ oleh $m_2$ ,

$\displaystyle \Delta\theta \approx \fracy_2^\prime\prime\Delta x1+m_2^2$

Panjang busur antara titik tengah dari $[x_1,x_2]$ dan $[x_2,x_3]$ adalah

$\displaystyle \Delta s^2 \approx \Delta x^2 (1 + m_2^2) \,.$

Menggabungkan kedua persamaan di atas, kelengkungannya adalah

$\displaystyle \kappa \approx \frac\Delta\theta\Delta s \approx \fracy_2^\prime\prime(1+m_2^2)^3/2 \, . \ \ \ \ \ (2)$

Lingkaran Oskulasi

Kita dapat menurunkan ekspresi untuk lingkaran oskulasi pada $P$ dengan mengambil tiga poin dekat $P$ . Pertama, mari kita pertimbangkan tiga poin umum, $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ dan $(x_3,y_3)$ . Misalkan lingkaran yang melewati ketiga titik ini berpusat di $(x_c,y_c)$ dan radius $R$ . Kemudian

$\displaystyle (x_1 - x_c )^2 + ( y_1 - y_c)^2 = R^2 \ \ \ \ \ (3)$
$\displaystyle (x_2 - x_c )^2 + ( y_2 - y_c)^2= R^2 \ \ \ \ \ (4)$
$\displaystyle (x_3 - x_c )^2 + ( y_3 - y_c)^2 = R^2 \ \ \ \ \ (5)$

Ini adalah tiga persamaan kuadrat untuk tiga yang tidak diketahui, $\x_c, y_c, R \$ . Kita bisa mendapatkan dua persamaan linier untuk $\x_c, y_c \$ dengan mengurangkan (3) dari (4) dan (4) dari (5) dan menata ulang:

$\displaystyle 2 (x_2-x_1) x_c + 2 (y_2-y_1) y_c = (x_2^2-x_1^2) + ( y_2^2-y_1^2) \ \ \ \ \ (6)$
$\displaystyle 2 (x_3-x_2) x_c + 2 (y_3-y_2) y_c = (x_3^2-x_2^2) + ( y_3^2-y_2^2) \ \ \ \ \ (7)$

Kita dapat dengan mudah menyelesaikan persamaan linear simultan ini untuk $(x_c, y_c)$ , pusat lingkaran. Maka salah satu dari persamaan (3)–(5) dapat digunakan untuk mencari jari-jari $R$ (lihat Gambar 2, panel kiri).

Poin Penggabungan

Kelengkungan grafik suatu fungsi $y = f(x)$ pada suatu titik $P$ dengan koordinat $(x_0,y_0)$ tergantung pada turunan kedua $y^\prime\prime = \mathrmd^2 f/ \mathrmdx^2$ . Tapi apa hubungan tepatnya?

Mari kita anggap ketiga titik itu berdekatan, dan meluas ke urutan kedua:

$\displaystyle \beginarrayrcl x_1 = x_2 - \Delta x &\quad& y_1 = y_2 - y_2^\prime \Delta x + \textstyle\frac12 y_2^\prime\ prima \Delta x^2 \\ x_3 = x_2 + \Delta x &\quad& y_3 = y_2 + y_2^\prime \Delta x + \textstyle\frac12 y_2^\prime\prime \Delta x^2 \endarray$

Oleh karena itu, untuk urutan kedua, kami dapatkan

$\displaystyle \beginarrayrcl (x_2^2 - x_1^2) = 2x_2\Delta x - \Delta x^2 &\quad& (y_2^2 - y_1^2) = +(2 y_2 y_2^\ prima)\Delta x - ( y_2^\prime 2 - y_2y_2^\prime\prime) \Delta x^2 \\ (x_3^2 - x_2^2) = 2x_2\Delta x + \Delta x^ 2 &\quad& (y_2^2 - y_1^2) = -(2 y_2 y_2^\prime)\Delta x - ( y_2^\prime 2 - y_2y_2^\prime\prime) \Delta x^2 \endarray$

Gambar 2. Kiri: lingkari melalui tiga titik pada kurva. Kanan: lingkaran berosilasi melalui tiga titik ‘penggabungan’.

Untuk menyederhanakan masalah, mari kita asumsikan asal dipindahkan ke titik $(x_2, y_2)$ dan $x$ -nilai diberi jarak yang sama: $x_1 = -\Delta x$ dan $x_3 = +\Delta x$ (lihat Gambar 2, panel kanan). Memperluas untuk memesan $\Delta x^2$ kita punya

$\displaystyle y_1 = -y_2^\prime \Delta x + \textstyle\frac12 y_2^\prime\prime \Delta x^2 \,, \qquad y_3 = \phantom+ y_2^\prime \Delta x + \textstyle\frac12 y_2^\prime\prime \Delta x^2 \,,$

atau, mendefinisikan $m = y_2^\prime$ dan $\gamma = y_2^\prime\prime$ ,

$\displaystyle \beginarrayrcl y_1 &= -m \Delta x + \textstyle\frac12\gamma \Delta x^2 \,,\qquad y_1^2 &= m^ 2 \Delta x^2 \\ y_3 &= \phantom+m \Delta x + \textstyle\frac12 \gamma \Delta x^2 \,,\qquad y_3^2 &= m^2 \Delta x^2 \endarray$

Menggunakan ini di (6) dan (7) dan mengurangkan satu dari yang lain, berikan

$\displaystyle y_c = (1 + m^2) / \gamma$

Menambahkan keduanya memberi

$\displaystyle 2 x_c + 2 m y_c = 0 \qquad\mboxatau\qquad x_c = - m y_c \,.$

Sekarang kita bisa menghitung $R^2$ :

$\displaystyle R^2 = x_c^2 + y_c^2 = (1+m^2)[(1+m^2)^2 / \gamma^2] \,.$

Akhirnya, mengingat itu $\gamma = y_2^\prime\prime$ kita mendapatkan ekspresi untuk kelengkungan,

$\displaystyle \kappa = \frac1R = \frac\gamma (1+m^2)^3/2 \,. \ \ \ \ \ (10)$

yang setuju dengan (2).

Kelengkungan dalam Dimensi Lebih Tinggi

Kelengkungan permukaan dua dimensi adalah ukuran seberapa banyak ia menyimpang dari bidang. Lebih umum, untuk manifold dimensi Riemannian $n$ kita dapat mendefinisikan kelengkungan secara intrinsik, yaitu tanpa mempertimbangkan penyematan dalam ruang eksternal. Ini dilakukan melalui tensor kelengkungan Riemann. Untuk permukaan dua dimensi, kita dapat menentukan kelengkungan maksimal, kelengkungan minimal, dan kelengkungan rata-rata.

Lebih banyak lagi yang bisa ditulis tentang topik kelengkungan. Artikel Wikipedia Lengkungan adalah tempat yang sangat baik untuk memulai penyelidikan lebih dalam.

Leave a Comment Cancel reply