Kurva Pengisi Ruang, Bagian I: “Saya melihatnya, tapi saya tidak percaya”

Hey, Selamat datang di wikitanic.com.

Kita semua akrab dengan konsep dimensi: titik berdimensi nol, garis berdimensi satu, bidang berdimensi dua, dan ruang di sekitar kita berdimensi tiga. Posisi pada garis dapat ditentukan dengan satu nomor, seperti jarak dari asal tetap. Di bidang, sebuah titik dapat ditemukan dengan memberikan koordinat Cartesiannya $(x,y)$ atau koordinat kutubnya $(\rho,\theta)$ . Di luar angkasa, kita dapat menentukan lokasi dengan memberikan tiga angka $(x,y,z)$ .

Pada tahun 1872, Georg Cantor membuat penemuan yang luar biasa. Dia menemukan pemetaan satu-ke-satu $f : \mathitI \rightarrow \mathitQ$ antara interval satuan satu dimensi $\mathitI := [0,1]$ dan kuadrat satuan dua dimensi $\mathitQ := [0,1]\waktu[0,1]$ . Idenya mudah dijelaskan: poin apa saja $t$ pada selang satuan $\mathitI$ dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, $t = 0.d_1 d_2 d_3 \titik$ . Kami menggunakan angka ganjil dan genap dari $t$ untuk membangun dua angka

$\displaystyle x = 0.d_1 d_3 d_5 \dots \qquad \mboxand \qquad y = 0.d_2 d_4 d_6 \dots \,,$

memberi kita poin $(x,y)$ dalam kuadrat satuan $\mathitQ$ . Setiap titik masuk $Q$ dapat diperoleh dari beberapa $t\in I$ .

Jelas bahwa argumen ini dapat dibalik: diberikan dua koordinat titik mana pun $Q$ ,

$\displaystyle x = 0.abcd\dots \qquad\mboxdan\qquad y = 0.\alpha\beta\gamma\delta\dots$

kita dapat membentuk nomor $t = 0.a\alpha b\beta c\gamma d\delta \dots$ dalam interval $SAYA$ dengan demikian pemetaan $Q$ ke dalam $SAYA$ (ada beberapa “titik lengket” yang telah diabaikan dalam artikel ini. Untuk detail lebih lanjut, lihat Gouvêa, 2011). Dalam sebuah surat kepada Dedekind pada tahun 1877, Cantor menulis tentang hasilnya, “Saya hanya dapat mengatakan: Saya melihatnya, tetapi saya tidak percaya”. Surat itu dalam bahasa Jerman, tetapi frasa terkenal “Saya melihatnya, tetapi saya tidak percaya” dalam bahasa Prancis.

Hasil Cantor luar biasa: ini berarti bahwa sebuah titik dalam satuan persegi dua dimensi dapat ditunjukkan dengan satu angka di $SAYA$ . Memang, ini juga berlaku untuk satu poin $I^k$ untuk apapun $k\in\mathbbN$ . Jadi, ada konsekuensi luas untuk konsep dimensi.

Pada tahun 1878, Cantor membuktikan bahwa ada dua manifold yang mulus setiap dimensi terbatas memiliki kardinalitas yang sama. Tapi mungkinkah ada a kontinu pemetaan di antara mereka? Secara khusus, mungkinkah ada a kontinyu satu-ke-satu berfungsi dari $SAYA$ ke $Q$ ? Jawabannya tidak, seperti yang dibuktikan oleh Eugen Netto pada tahun 1879.

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga : Lembar Kerja Pembulatan ke Angka Penting

Menjatuhkan persyaratan pemetaan menjadi satu-ke-satu, matematikawan mencari pemetaan surjektif terus menerus $f: I \rightarrow Q$ . Yang pertama menemukannya adalah Giuseppe Peano. Tahun berikutnya, 1891, David Hilbert yang hebat menemukan peta yang lebih sederhana dan memberikan gambaran yang jelas tentang konstruksi dan propertinya.

Kurva Hilbert

Atas dari kiri: $H_1$ . Empat kuadran. Diagonal refleksi. Bawah dari kiri: empat salinan berskala $H_1$ sebelum refleksi. Setelah refleksi. Menghubungkan memberi $H_2$ .

Kurva Hilbert dapat dibangun sebagai batas urutan fungsi detail yang meningkat. Peta orde-nol adalah konstan: ${H_0 <div data-shortcode=$

Perkiraan urutan 1 sampai 6 untuk kurva Hilbert.

Kurva perkiraan memberikan kesan kurva Hilbert, yang dapat kita tunjukkan dengan $H_\infty$ atau hanya $H$ . Namun, masih jauh dari jelas bagaimana cara menghitung nilai tertentu ${H <p><b><span style=$ Sumber