Kurva Pengisi Ruang, Bagian II: Menghitung Fungsi Limit

Hi, Selamat datang di wikitanic.com.

Fungsi Perkiraan

Sangat mudah untuk mendefinisikan pemetaan dari satuan interval $Saya := [0,1]$ ke dalam kuadrat satuan $Q:=[0,1]\waktu[0,1]$ . Georg Cantor menemukan peta satu-ke-satu dari $SAYA$ ke $Q$ , menunjukkan bahwa interval satu dimensi dan persegi dua dimensi memiliki kardinalitas yang sama. Peta Cantor tidak bersambung, tetapi Giuseppe Peano menemukan surjeksi bersambung dari $SAYA$ ke $Q$ itu adalah kurva yang mengisi seluruh satuan persegi. Tak lama kemudian, David Hilbert menemukan kurva pengisian ruang yang lebih sederhana lagi, yang telah kita bahas di Bagian I tulisan ini.

Kurva Hilbert dibangun sebagai batas dari urutan fungsi ${H_n <p><strong style=$ Ekspresi Eksplisit

Hilbert memberikan argumen geometris tentang fungsi $H$ bersifat surjektif. Namun, ekspresi eksplisit untuk $H$ tidak ditemukan selama 100 tahun setelah makalah Hilbert muncul. Pada tahun 1991, Hans Sagan memperoleh ekspresi yang memungkinkan nilai numerik dari citra setiap titik dihitung. Untuk argumen diad $t=k/2^n$ ekspresi adalah jumlah yang terbatas, menghasilkan jawaban yang tepat. Untuk argumen umum, nilainya diberikan dengan jumlah tak terhingga. Ungkapan tersebut diberikan dalam buku Sagan (Sagan, 1994). Buku ini juga merupakan sumber yang bagus untuk kurva pengisian ruang yang lebih umum, yang mencakup perkembangan historis subjek dan detail teknis yang diperlukan untuk membuat kurva tersebut.

Fungsi $H : I \panah kanan Q$

Akan lebih mudah untuk bekerja dengan perluasan bilangan kuaterner dalam interval satuan:

$\displaystyle t = \fracq_14 + \fracq_24^2 + \fracq_34^3 + \cdots \qquad\mboxdi mana\qquad q_n\in\ 0,1,2,3\ \,.$

Seperti biasa, kami menulis $t = 0.q_1q_2q_3 \titik$ . Sagan menurunkan ungkapan berikut untuk gambaran titik $t$

$\displaystyle H(0.q_1q_2q_3 \dots ) = \sum_j=1^\infty \frac(-1)^e_0j2^j\ \mboxsgn(q_j) \beginpmatrix (1-d_j)q_j -1 \\ 1 - d_jq_j \endpmatrix \ \ \ \ \ (1)$

di mana $e_0 j$ adalah jumlah $0$ masuk $t$ mendahului $q_j$ ( $\mboxmod\ 2$ ), $e_3 j$ adalah jumlah $3$ sebelumnya $q_j$ ( $\mboxmod\ 2$ ), $d_j = ( e_0j + e_3j )\ (\mboxmod\ 2)$ dan $\mboxsgn(q_j)$ adalah fungsi signum dari $q_j$ .

Mengikuti Sagan, mari kita perhatikan contoh sederhana, $t = \frac3564$ yang memiliki ekspansi kuaterner $t = 0,203$ . Kami dengan mudah menghitung yang berikut:

$\displaystyle\beginmatrixe_01=0&e_02=0&e_03=1\\e_31=0&e_32=0&e_33=0\ \\d_1 = 0& \d_2=0&\d_3=1\endmatriks$

Memasukkan nilai-nilai ini ke dalam (1) kita dapatkan

$\displaystyle \beginarrayrcl H(0,203) &=& \frac12(-1)^0 \beginpmatrix (1\cdot 2 - 1) \\ 1 \end pmatrix + 0 + \frac18(-1)^1 \beginpmatrix (0 - 1) \\ 1 - 1\cdot 3 \endpmatrix \\ &=& \begin pmatrix 1/2 \\ 1/2 \endpmatrix + \beginpmatrix 1/8 \\ 1/4 \endpmatrix = \beginpmatrix 5/8 \\ 3/4 \end pmatrix \,. \endarray$

Jadi $t=0,203 = \frac3564$ peta ke titik $(\frac58,\frac34)$ .

Kami menunjukkan satuan kuadrat dengan $Q = Q_0$ partisi pertama menjadi kuadran sebagai $Q_10\cup Q_11\cup Q_12\cup Q_13$ dan seterusnya. Jadi, kuadran $Q_ijk$ dipartisi menjadi $Q_ijk0\cup Q_ijk1\cup Q_ijk2\cup Q_ijk3$ . Kami memberi nomor kuadran sesuai dengan urutannya setelah refleksi diperlukan untuk memastikan kontinuitas. Lalu intinya $(\frac58,\frac34)$ berada di sudut timur laut elemen $Q_203$ .

Kurva Hilbert dalam Bentuk Lain

Fungsi kontinu dari fungsi kontinu adalah kontinu. Diberikan kurva pengisian ruang ${H <div data-shortcode=$

Perkiraan kurva Hilbert pada persegi, cakram, kardioid, dan annulus.

Beberapa Keterangan Tambahan

Kurva Hilbert tidak hanya padat $Q$ tapi sebenarnya melewati setiap titik dalam kuadrat satuan. Ini luar biasa. Untuk semua fungsi perkiraan ${H_n <p>Konstruksi dari <img decoding=$ yang terjadi pada pemuaian kuaterner dari $t=\frac12$ yang $0,20000\bar0$ . Kita juga bisa sampai di sana dengan memilih kuadran $Q_10$ dan kemudian kuadran timur laut pada setiap skala berikutnya. Hal ini terjadi untuk nomor tersebut $0,02222\bar2$ yang sesuai dengan $t = \frac16$ . Akhirnya, kita bisa sampai ke tengah dengan memilih $Q_03$ dan kemudian kuadran barat laut pada semua skala yang lebih kecil, yang muncul dari angka tersebut $0,31111\bar1$ atau $t=\frac56$ . Jadi, semua poin $\\frac16,\frac12,\frac56\$ dalam satuan selang $SAYA$ memetakan ke titik yang sama di $Q$ .

“Namun saya akan membuat jaminan ganda yakin ”

Mari kita konfirmasikan bahwa (1) memberikan hasil yang benar. Untuk $t = \frac12=0,2_4$ perluasan direduksi menjadi satu suku $(1/2,1/2)$ .

Untuk $t=\frac16 = 0,02222\bar2_4$ kita punya

$\displaystyle\beginmatrixe_01=0&e_02=1&e_03=1&e_04=1\e_31=0&e_32=0& e_33 = 0 & e_34 = 0 \\ \ d_ 1 = 0 &\ d_ 2 = 1 &\ d_ 3 = 1 &\ d_ 4 = 1 \endmatriks$

dan perluasannya adalah

$\displaystyle 0 + \frac14(-1)^1 \beginpmatrix -1 \\ -1 \endpmatrix + \frac18(-1)^1 \ mulaipmatrix -1 \\ -1 \endpmatrix + \cdots = \beginpmatrix \frac14+\frac18+\frac116 \cdots \\ [\frac14+\frac18+\frac116 \cdots] \endpmatrix = \beginpmatrix 1/2 \\ 1/2 \endpmatrix \,.$

Untuk $t = \frac56=0,31111\bar1_4$ kita mendapatkan

$\displaystyle\beginmatrix e_01 = 0 & e_02 = 0 & e_03 = 0 & e_04 = 0 \\e_31 = 0 & e_32 = 1& e_ 33 = 1 & e_34 = 1 \\ \ d_ 1 = 0 &\ d_ 2 = 1 &\ d_ 3 = 1 &\ d_ 4 = 1 \endmatrix }$

dan perluasannya adalah

$\displaystyle \frac12 (-1)^0 \beginpmatrix 1\cdot 3-1 \\ 1-0 \endpmatrix + \frac14(-1) ^1 \beginpmatrix -1 \\ 0 \endpmatrix + \frac18(-1)^1 \beginpmatrix -1 \\ 0 \endpmatrix + \cdots \\ = \beginpmatrix 1 - \frac14[1+\frac12+\frac14 \cdots] \\ 1/2 \endpmatrix = \beginpmatrix 1/2 \\ 1/2 \endpmatrix \,.$

Dengan demikian, ketiga nilai dari $t$ peta ke titik pusat persegi satuan.

Beberapa animasi indah dari kurva Hilbert diberikan di situs web Brian Hayes. Lihat juga bukunya (Hayes, 2017).

Sumber

$\peluru$ Hayes, Brian, 2017: Sangat mudah, dan Meditasi Matematika Lainnya. Pers MIT. 248 hal. ISBN: 978-0-2620-3686-3.

$\peluru$ Sagan, Hans, 1994: Kurva yang mengisi ruang. Springer-Publishers, New York. 193 hal. ISBN: 0-387-94265-3

Leave a Comment Cancel reply