Kurva Pengisi Ruang, Bagian II: Menghitung Fungsi Limit

Hi, Selamat datang di wikitanic.com.

Fungsi Perkiraan

Sangat mudah untuk mendefinisikan pemetaan dari satuan interval Saya := [0,1] ke dalam kuadrat satuan Q:=[0,1]\waktu[0,1]. Georg Cantor menemukan peta satu-ke-satu dari SAYAke Q, menunjukkan bahwa interval satu dimensi dan persegi dua dimensi memiliki kardinalitas yang sama. Peta Cantor tidak bersambung, tetapi Giuseppe Peano menemukan surjeksi bersambung dari SAYA ke Qitu adalah kurva yang mengisi seluruh satuan persegi. Tak lama kemudian, David Hilbert menemukan kurva pengisian ruang yang lebih sederhana lagi, yang telah kita bahas di Bagian I tulisan ini.

Kurva Hilbert dibangun sebagai batas dari urutan fungsi {H_n


<p><strong style=Ekspresi Eksplisit

Hilbert memberikan argumen geometris tentang fungsi H bersifat surjektif. Namun, ekspresi eksplisit untuk H tidak ditemukan selama 100 tahun setelah makalah Hilbert muncul. Pada tahun 1991, Hans Sagan memperoleh ekspresi yang memungkinkan nilai numerik dari citra setiap titik dihitung. Untuk argumen diad t=k/2^n ekspresi adalah jumlah yang terbatas, menghasilkan jawaban yang tepat. Untuk argumen umum, nilainya diberikan dengan jumlah tak terhingga. Ungkapan tersebut diberikan dalam buku Sagan (Sagan, 1994). Buku ini juga merupakan sumber yang bagus untuk kurva pengisian ruang yang lebih umum, yang mencakup perkembangan historis subjek dan detail teknis yang diperlukan untuk membuat kurva tersebut.

Fungsi H : I \panah kanan Q

Akan lebih mudah untuk bekerja dengan perluasan bilangan kuaterner dalam interval satuan:

\displaystyle t = \fracq_14 + \fracq_24^2 + \fracq_34^3 + \cdots \qquad\mboxdi mana\qquad q_n\in\ 0,1,2,3\ \,.

Seperti biasa, kami menulis t = 0.q_1q_2q_3 \titik. Sagan menurunkan ungkapan berikut untuk gambaran titik t

\displaystyle H(0.q_1q_2q_3 \dots ) = \sum_j=1^\infty \frac(-1)^e_0j2^j\ \mboxsgn(q_j) \beginpmatrix (1-d_j)q_j -1 \\ 1 - d_jq_j \endpmatrix \ \ \ \ \ (1)

di mana e_0 j adalah jumlah 0masuk t mendahului q_j (\mboxmod\  2), e_3 j adalah jumlah 3sebelumnya q_j (\mboxmod\  2), d_j = ( e_0j + e_3j )\ (\mboxmod\  2) dan \mboxsgn(q_j) adalah fungsi signum dari q_j.

Mengikuti Sagan, mari kita perhatikan contoh sederhana, t = \frac3564yang memiliki ekspansi kuaterner t = 0,203. Kami dengan mudah menghitung yang berikut:

\displaystyle\beginmatrixe_01=0&e_02=0&e_03=1\\e_31=0&e_32=0&e_33=0\ \\d_1 = 0& \d_2=0&\d_3=1\endmatriks

Memasukkan nilai-nilai ini ke dalam (1) kita dapatkan

\displaystyle \beginarrayrcl H(0,203) &=& \frac12(-1)^0 \beginpmatrix (1\cdot 2 - 1) \\ 1 \end pmatrix + 0 + \frac18(-1)^1 \beginpmatrix (0 - 1) \\ 1 - 1\cdot 3 \endpmatrix \\ &=& \begin pmatrix 1/2 \\ 1/2 \endpmatrix + \beginpmatrix 1/8 \\ 1/4 \endpmatrix = \beginpmatrix 5/8 \\ 3/4 \end pmatrix \,.  \endarray

Jadi t=0,203 = \frac3564 peta ke titik (\frac58,\frac34).

Kami menunjukkan satuan kuadrat dengan Q = Q_0partisi pertama menjadi kuadran sebagai Q_10\cup Q_11\cup Q_12\cup Q_13 dan seterusnya. Jadi, kuadran Q_ijk dipartisi menjadi Q_ijk0\cup Q_ijk1\cup Q_ijk2\cup Q_ijk3. Kami memberi nomor kuadran sesuai dengan urutannya setelah refleksi diperlukan untuk memastikan kontinuitas. Lalu intinya (\frac58,\frac34) berada di sudut timur laut elemen Q_203.

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga :  Soal Kata Matematika Kelas Dua

Kurva Hilbert dalam Bentuk Lain

Fungsi kontinu dari fungsi kontinu adalah kontinu. Diberikan kurva pengisian ruang {H


<div data-shortcode=

Perkiraan kurva Hilbert pada persegi, cakram, kardioid, dan annulus.

Beberapa Keterangan Tambahan

Kurva Hilbert tidak hanya padat Qtapi sebenarnya melewati setiap titik dalam kuadrat satuan. Ini luar biasa. Untuk semua fungsi perkiraan {H_n


<p>Konstruksi dari <img decoding=yang terjadi pada pemuaian kuaterner dari t=\frac12yang 0,20000\bar0. Kita juga bisa sampai di sana dengan memilih kuadran Q_10 dan kemudian kuadran timur laut pada setiap skala berikutnya. Hal ini terjadi untuk nomor tersebut 0,02222\bar2yang sesuai dengan t = \frac16. Akhirnya, kita bisa sampai ke tengah dengan memilih Q_03 dan kemudian kuadran barat laut pada semua skala yang lebih kecil, yang muncul dari angka tersebut 0,31111\bar1 atau t=\frac56. Jadi, semua poin \\frac16,\frac12,\frac56\ dalam satuan selang SAYA memetakan ke titik yang sama di Q.

Namun saya akan membuat jaminan ganda yakin ”

Mari kita konfirmasikan bahwa (1) memberikan hasil yang benar. Untuk t = \frac12=0,2_4perluasan direduksi menjadi satu suku (1/2,1/2).

Untuk t=\frac16 = 0,02222\bar2_4 kita punya

\displaystyle\beginmatrixe_01=0&e_02=1&e_03=1&e_04=1\e_31=0&e_32=0& e_33 = 0 & e_34  = 0 \\ \ d_ 1 = 0 &\ d_ 2 = 1 &\ d_ 3 = 1 &\ d_ 4 = 1 \endmatriks

dan perluasannya adalah

\displaystyle 0 + \frac14(-1)^1 \beginpmatrix -1 \\ -1 \endpmatrix + \frac18(-1)^1 \ mulaipmatrix -1 \\ -1 \endpmatrix + \cdots = \beginpmatrix \frac14+\frac18+\frac116  \cdots \\ [\frac14+\frac18+\frac116 \cdots] \endpmatrix = \beginpmatrix 1/2 \\ 1/2 \endpmatrix \,.

Untuk t = \frac56=0,31111\bar1_4kita mendapatkan

\displaystyle\beginmatrix e_01 = 0 & e_02 = 0 & e_03 = 0 & e_04 = 0 \\e_31 = 0 & e_32 = 1& e_ 33 = 1 & e_34 = 1 \\ \ d_ 1 = 0 &\ d_ 2 = 1 &\ d_ 3 = 1 &\ d_ 4 = 1 \endmatrix  }

dan perluasannya adalah

\displaystyle \frac12 (-1)^0 \beginpmatrix 1\cdot 3-1 \\ 1-0 \endpmatrix + \frac14(-1) ^1 \beginpmatrix -1 \\ 0 \endpmatrix + \frac18(-1)^1 \beginpmatrix -1 \\ 0 \endpmatrix + \cdots \\ = \beginpmatrix 1 - \frac14[1+\frac12+\frac14 \cdots] \\ 1/2 \endpmatrix = \beginpmatrix 1/2 \\ 1/2 \endpmatrix \,.

Dengan demikian, ketiga nilai dari t peta ke titik pusat persegi satuan.

Beberapa animasi indah dari kurva Hilbert diberikan di situs web Brian Hayes. Lihat juga bukunya (Hayes, 2017).

Sumber

\peluru Hayes, Brian, 2017: Sangat mudah, dan Meditasi Matematika Lainnya. Pers MIT. 248 hal. ISBN: 978-0-2620-3686-3.

\peluru Sagan, Hans, 1994: Kurva yang mengisi ruang. Springer-Publishers, New York. 193 hal. ISBN: 0-387-94265-3

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Previous Article

Plot Kotak dan Kumis

Next Article

Sistem Bilangan Biner

Related Posts