Penyaringan Low-pass dan Integral Borwein dan Borwein yang Luar Biasa

Hi, Selamat datang di wikitanic.com.

Pada postingan minggu lalu kita melihat aspek teka-teki bentuk “Berapa angka selanjutnya”. Kami disajikan dengan daftar pendek nomor, misalnya $1, 3, 5, 7, 9$ dan meminta nomor berikutnya dalam urutan. Argumen diberikan untuk menunjukkan alasannya setiap nomor mungkin dianggap sebagai nomor berikutnya.

integral Borwein dievaluasi oleh Matematika. Tujuh integral pertama semuanya sama dengan $\pi$ . Yang kedelapan sedikit kurang dari ini.

Pada artikel ini kami mempertimbangkan urutan tujuh urutan: $1, 1, 1, 1, 1, 1 ,1$ . Kebanyakan orang akan setuju bahwa angka berikutnya dalam urutan tersebut adalah $1$ . Kami akan menunjukkan berapa jumlahnya $1 - 1,47\times10^-11 \kira-kira 0,999\,999\,999\,985$ bisa menjadi jawaban yang “benar”.

Urutan Integral

Itu dosa fungsi didefinisikan sebagai berikut:

$\displaystyle \mathrmsinc\ t = \beginkasus \displaystyle\frac\sin tt, & t \ne 0 \\ \ \ 1, &t = 0 \endkasus$

Kami mencatat itu $\mathrmsinc\ t$ berosilasi dengan amplitudo membusuk sebagai ${|t|}$ meningkat, dan memiliki nol di $\\pm \pi, \pm 2\pi, \dots \$ . Pada tahun 2001, tim ayah dan anak David Borwein dan Jonathan Borwein menerbitkan barisan integral dengan sifat yang sangat mengejutkan. Kami mendefinisikan integral

$\displaystyle J_n := \int_-\infty^\infty \prod_k=1^n\ \mathrmsinc\ \fract2k-1\,\mathrm dt \,.$

Borwein dan Borwein menunjukkan bahwa, untuk $n=1, 2, 3, \titik ,7$ kita punya $J_n =\pi$ tapi untuk $n=8$ integralnya sedikit lebih kecil dari ini. Dengan demikian,

$\displaystyle \beginarrayrcl J_1 := \int_-\infty^\infty \mathrmsinc\, t\,\mathrmdt &=& \pi \\ J_2 : = \int_-\infty^\infty \mathrmsinc\, t\\mathrmsinc\, \fract3\,\mathrmdt &=& \pi \\J_3 := \int_-\infty^\infty\mathrmsinc\, t\\mathrmsinc\, \fract3\\mathrmsinc\, \ fract5\,\mathrmdt &=& \pi \\ &\vdots& \\ J_7 := \int_-\infty^\infty \mathrmsinc\, t \\mathrmsinc\, \fract3\\dots\\mathrmsinc\, \fract13\,\mathrmdt &=& \pi \end Himpunan$

Namun, untuk $n=8$ percobaan numerik menunjukkan bahwa

$\displaystyle J_8 =\!\! \int_-\infty^\infty\!\!\!\! \mathrmsinc\, t\ \mathrmsinc\, \fract3 \dots \mathrmsinc\, \fract15\,\mathrmdt = \frac467\,807\,924\,713\,440\,738\,696\,537\,864\,469467\,807\,924\,720\,320\,453\ ,655\,260\,875\,000\, \pi \,.$

Itu adalah, $J_8 = (1-\epsilon)\pi$ di mana $\epsilon \kira-kira 1,47\kali 10^-11$ . Borweins memberikan penjelasan tentang perilaku yang paling aneh ini.

Analisis dalam Istilah Filter Low-pass

Fungsi respons frekuensi dari filter low-pass $H(\omega)$ .

Mari kita definisikan integral dari $Mengental$ menjadi

$\displaystyle S_\ell <p>Kami mencatat bahwa transformasi Fourier dari <img decoding=$ adalah $\textstyle \frac12\mathrmH(\frac\omega2)$ di mana

$\displaystyle \mathrmH(\omega) = \begincases 1, & \omega \le \textstyle\frac12 \\ 0, & \omega > \textstyle\frac 12 \endkasus ” class=”latex” /></p> <p>Kami mendefinisikan fungsi respon low-pass <img decoding=$ . Dengan teorema konvolusi, transformasi Fourier dari ${S_\ell <p align=$ $\displaystyle \mathcalF\ S_\ell \(\omega) = \mathcalH_\ell(\omega) = [ H_1 \star H_2 \star \cdots \star H_\ell ](\omega)\,.$

Ini adalah fungsi respons frekuensi untuk penerapan filter low-pass berturut-turut $H_k(\omega)$ dengan setengah lebar $1/[2(2k-1)]$ . Kami mencatat kasus khusus dari transformasi Fourier ketika $\omega = 0$ menyiratkan

$\displaystyle J_\ell = \mathcalF\ S_\ell \(0) = \mathcalH_\ell(0)$

Kita dapat menganggap konvolusi sebagai aksi dari filter $\H_2, H_3, \titik , H_\ell\$ pada faktor pertama, $\mathcalH_1(\omega) = H_1(\omega)$ . Ini memiliki diskontinuitas lompatan di $\omega = \pm\frac12$ (lihat Gambar di atas). Di dekat titik-titik inilah pemfilteran selanjutnya memiliki efek penghalusan. Hasil untuk penerapan berturut-turut faktor lebih lanjut ditunjukkan pada Gambar di bawah ini. Kami melihat bahwa lompatan tiba-tiba menjadi transisi yang lebih mulus. Karena filter berturut-turut memiliki lebar pita yang berkurang, rentang di mana masing-masing tindakan berkurang, tetapi rentang dampak keseluruhan meningkat: efek pemfilteran bergerak mendekati $\omega=0$ sebagai $\elo$ meningkat. Kisaran untuk $H_\ell(\omega)$ adalah $\sum_k=1^\ell 1/(2(2\ell-1))$ . Nilai numerik dari jumlah ini untuk $\ell= 2, 3, \titik 8$ adalah

$\displaystyle \ 0.167,0.267,0.338,0.394,0.439,0.478,0.511 \$

Jumlahnya melebihi $0,5$ Kapan $\ll=8$ . Hal ini menunjukkan bahwa nilai dari $\mathcalH_\ell(0)$ tetap sama dengan $1$ sampai $\ll=8$ . Tetapi nilai ini sama dengan integral dari ${S_\ell <div data-shortcode=$

Fungsi respons dari $H_\ell(\omega)$ untuk $\el=1,2,3$ dan $4$ .

Kesimpulan

Ketika ilmuwan komputer pertama kali mendapatkan nilai (tampaknya anomali) dari $J_8$ , mereka mencurigai bug perangkat lunak. Tampaknya luar biasa bahwa tujuh suku pertama dari deret tersebut $Mengental$ harus memiliki nilai $\pi$ , tetapi yang kedelapan harus sedikit menyimpang dari nilai ini. Namun, analisis Borwein dan Borwein (2001) memperjelas bahwa hasil numeriknya benar. Gambar pertama di atas menunjukkan beberapa keluaran dari a Matematika buku catatan, mengonfirmasi hasilnya. Schmid (2014) memberikan analisis lain dari fenomena tersebut, dan video yang sangat bagus di 3Biru1Coklat seri Grant Sanderson memberikan wawasan lebih jauh tentang perilaku aneh dari integral Borwein.

Sumber

$\peluru$ Baez, John C., 2018: Pola Yang Akhirnya Gagal. Tautan.

$\peluru$ Borwein, David and Borwein, Jonathan M., 2001: Beberapa sifat luar biasa dari sinc dan integral terkait. Jurnal Ramanujan, 5(1), 73–89, doi.

$\peluru$ Sanderson, Grant, 2022: Para peneliti mengira ini adalah bug (integral Borwein). Video Youtube.

$\peluru$ Schmid, Hanspeter, 2014: Dua integral penasaran dan bukti grafis. unsur matematika, 69, 11–17. PDF.

Leave a Comment Cancel reply