Penyaringan Low-pass dan Integral Borwein dan Borwein yang Luar Biasa

Hi, Selamat datang di wikitanic.com.

Pada postingan minggu lalu kita melihat aspek teka-teki bentuk “Berapa angka selanjutnya”. Kami disajikan dengan daftar pendek nomor, misalnya dan meminta nomor berikutnya dalam urutan. Argumen diberikan untuk menunjukkan alasannya setiap nomor mungkin dianggap sebagai nomor berikutnya.

integral Borwein dievaluasi oleh Matematika. Tujuh integral pertama semuanya sama dengan \pi. Yang kedelapan sedikit kurang dari ini.

Pada artikel ini kami mempertimbangkan urutan tujuh urutan: 1, 1, 1, 1, 1, 1 ,1. Kebanyakan orang akan setuju bahwa angka berikutnya dalam urutan tersebut adalah 1. Kami akan menunjukkan berapa jumlahnya 1 - 1,47\times10^-11 \kira-kira 0,999\,999\,999\,985 bisa menjadi jawaban yang “benar”.

Urutan Integral

Itu dosa fungsi didefinisikan sebagai berikut:

\displaystyle \mathrmsinc\  t = \beginkasus \displaystyle\frac\sin tt, & t \ne 0 \\ \ \ 1, &t = 0 \endkasus

Kami mencatat itu \mathrmsinc\  t berosilasi dengan amplitudo membusuk sebagai meningkat, dan memiliki nol di \\pm \pi, \pm 2\pi, \dots \. Pada tahun 2001, tim ayah dan anak David Borwein dan Jonathan Borwein menerbitkan barisan integral dengan sifat yang sangat mengejutkan. Kami mendefinisikan integral

\displaystyle J_n := \int_-\infty^\infty \prod_k=1^n\ \mathrmsinc\ \fract2k-1\,\mathrm dt \,.

Borwein dan Borwein menunjukkan bahwa, untuk n=1, 2, 3, \titik ,7 kita punya J_n =\pitapi untuk n=8 integralnya sedikit lebih kecil dari ini. Dengan demikian,

\displaystyle \beginarrayrcl J_1 := \int_-\infty^\infty \mathrmsinc\,  t\,\mathrmdt &=& \pi \\ J_2 : = \int_-\infty^\infty \mathrmsinc\, t\\mathrmsinc\, \fract3\,\mathrmdt &=& \pi \\J_3 := \int_-\infty^\infty\mathrmsinc\,  t\\mathrmsinc\, \fract3\\mathrmsinc\, \ fract5\,\mathrmdt &=& \pi \\ &\vdots& \\ J_7 := \int_-\infty^\infty \mathrmsinc\,  t \\mathrmsinc\, \fract3\\dots\\mathrmsinc\, \fract13\,\mathrmdt &=& \pi \end Himpunan

Namun, untuk n=8 percobaan numerik menunjukkan bahwa

\displaystyle J_8 =\!\!  \int_-\infty^\infty\!\!\!\!  \mathrmsinc\,  t\ \mathrmsinc\, \fract3 \dots \mathrmsinc\,  \fract15\,\mathrmdt = \frac467\,807\,924\,713\,440\,738\,696\,537\,864\,469467\,807\,924\,720\,320\,453\ ,655\,260\,875\,000\, \pi \,.

Itu adalah, J_8 = (1-\epsilon)\pi di mana \epsilon \kira-kira 1,47\kali 10^-11. Borweins memberikan penjelasan tentang perilaku yang paling aneh ini.

Analisis dalam Istilah Filter Low-pass

Fungsi respons frekuensi dari filter low-pass H(\omega).

Mari kita definisikan integral dari Mengental menjadi

\displaystyle S_\ell


<p>Kami mencatat bahwa transformasi Fourier dari <img decoding= adalah \textstyle \frac12\mathrmH(\frac\omega2) di mana

\displaystyle \mathrmH(\omega) = \begincases 1, & \omega \le \textstyle\frac12 \\ 0, & \omega > \textstyle\frac 12 \endkasus ” class=”latex” /></p>
<p>Kami mendefinisikan fungsi respon low-pass <img decoding=. Dengan teorema konvolusi, transformasi Fourier dari {S_\ell


<p align=\displaystyle \mathcalF\ S_\ell \(\omega) = \mathcalH_\ell(\omega) = [ H_1 \star H_2 \star \cdots \star H_\ell ](\omega)\,.

Ini adalah fungsi respons frekuensi untuk penerapan filter low-pass berturut-turut H_k(\omega) dengan setengah lebar 1/[2(2k-1)]. Kami mencatat kasus khusus dari transformasi Fourier ketika \omega = 0 menyiratkan

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga :  Memecahkan Persamaan Eksponensial

\displaystyle J_\ell = \mathcalF\ S_\ell \(0) = \mathcalH_\ell(0)

Kita dapat menganggap konvolusi sebagai aksi dari filter \H_2, H_3, \titik , H_\ell\ pada faktor pertama, \mathcalH_1(\omega) = H_1(\omega). Ini memiliki diskontinuitas lompatan di \omega = \pm\frac12 (lihat Gambar di atas). Di dekat titik-titik inilah pemfilteran selanjutnya memiliki efek penghalusan. Hasil untuk penerapan berturut-turut faktor lebih lanjut ditunjukkan pada Gambar di bawah ini. Kami melihat bahwa lompatan tiba-tiba menjadi transisi yang lebih mulus. Karena filter berturut-turut memiliki lebar pita yang berkurang, rentang di mana masing-masing tindakan berkurang, tetapi rentang dampak keseluruhan meningkat: efek pemfilteran bergerak mendekati \omega=0 sebagai \elo meningkat. Kisaran untuk H_\ell(\omega) adalah \sum_k=1^\ell 1/(2(2\ell-1)). Nilai numerik dari jumlah ini untuk \ell= 2, 3, \titik 8 adalah

\displaystyle \ 0.167,0.267,0.338,0.394,0.439,0.478,0.511 \

Jumlahnya melebihi 0,5 Kapan \ll=8. Hal ini menunjukkan bahwa nilai dari \mathcalH_\ell(0) tetap sama dengan 1 sampai \ll=8. Tetapi nilai ini sama dengan integral dari {S_\ell 


<div data-shortcode=

Fungsi respons dari H_\ell(\omega) untuk \el=1,2,3 dan 4.

Kesimpulan

Ketika ilmuwan komputer pertama kali mendapatkan nilai (tampaknya anomali) dari J_8, mereka mencurigai bug perangkat lunak. Tampaknya luar biasa bahwa tujuh suku pertama dari deret tersebut Mengental harus memiliki nilai \pi, tetapi yang kedelapan harus sedikit menyimpang dari nilai ini. Namun, analisis Borwein dan Borwein (2001) memperjelas bahwa hasil numeriknya benar. Gambar pertama di atas menunjukkan beberapa keluaran dari a Matematika buku catatan, mengonfirmasi hasilnya. Schmid (2014) memberikan analisis lain dari fenomena tersebut, dan video yang sangat bagus di 3Biru1Coklat seri Grant Sanderson memberikan wawasan lebih jauh tentang perilaku aneh dari integral Borwein.

Sumber

\peluru Baez, John C., 2018: Pola Yang Akhirnya Gagal. Tautan.

\peluru Borwein, David and Borwein, Jonathan M., 2001: Beberapa sifat luar biasa dari sinc dan integral terkait. Jurnal Ramanujan, 5(1), 73–89, doi.

\peluru Sanderson, Grant, 2022: Para peneliti mengira ini adalah bug (integral Borwein). Video Youtube.

\peluru Schmid, Hanspeter, 2014: Dua integral penasaran dan bukti grafis. unsur matematika, 69, 11–17. PDF.

Author: admin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *