Hukum Benford Ditinjau Kembali | ThatsMaths

Hey, Selamat datang di wikitanic.com.

{Probabilitas untuk angka desimal pertama $D_1$ angka untuk mengambil nilai dari 1 sampai 9.

Beberapa peneliti telah mengamati bahwa, dalam berbagai kumpulan data numerik, digit desimal terdepan — atau paling signifikan — tidak terdistribusi secara seragam, tetapi sesuai dengan distribusi logaritmik. Dari sembilan nilai yang mungkin, $D_1=1$ terjadi lebih dari $30\%$ dari waktu sementara $D_1=9$ ditemukan kurang dari $5\%$ kasus (lihat Gambar di atas). Secara khusus, distribusi probabilitas adalah

$\displaystyle \mathsfP(D_1 = d) = \log_10 \left( 1 + \frac1d \right) \,, \quad \mbox for\ d = 1, 2 , \titik , 9 \,. \ \ \ \ \ (1)$

Bentuk hukum yang lebih lengkap memberikan probabilitas untuk digit kedua dan selanjutnya. Pembahasan lengkap tentang Hukum Benford diberikan dalam Berger dan Hill (2015).

Kami mendefinisikan set Benford $B_k$ untuk $k=1, 2, \titik , 9$ sebagai

$\displaystyle B_k = \n \in\mathbbN : D_1(n) = k \ \,.$

Kepadatan relatif dari $B_k$ dalam jangkauan $[1,n]$ dapat ditulis

$\displaystyle \rho = \frac\mboxcard(B_1 \cap \mathrmN_n)n \,,$

Di mana $\mathrmN_n = \1, 2, \dots , n \$ . Ini berosilasi antara $\frac19$ Dan $\frac59$ sebagai $N$ meningkat, dan tidak mendekati batas. Secara khusus, himpunan $B_1$ tidak memiliki kerapatan alami. Namun, kami dapat menetapkan probabilitas nomor arbitrer masuk $B_1$ mengikuti ide-ide yang diuraikan dalam Diaconis dan Skyrmes (2018) dan, secara lebih rinci, dalam Tenenbaum (1995) [Earlier post: How many numbers begin with a 1?]

Metode Rata-Rata

Urutan yang berbeda berperilaku berbeda. Angka Fibonacci sesuai dengan Hukum Benford: frekuensi relatif dari digit terdepan $D_1=d$ konvergen ke $\log_10(1+d^-1).$ Kepadatan himpunan bilangan Fibonacci yang dimulai dengan $1$ adalah $\log_102 \kira-kira 0,3010.$ Urutan bilangan prima tidak bukan mengikuti Hukum Benford. Untuk deret bilangan asli, densitas relatif berosilasi, dengan $\liminf = \frac19$ Dan $\limsup = \frac59$ .

Untuk satu set $C\subset\mathbbN$ kepadatan dapat didefinisikan sebagai

$\displaystyle \rho_C = \lim_N\rightarrow\infty \frac1N \sum_n=1^N \chi_C(n)$

Ini adalah contoh dari rata-rata Cesaro, yang menetapkan bobot $1/T$ ke masing-masing yang pertama $N$ ketentuan.

Ada beberapa cara alternatif untuk menentukan kerapatan. Kepadatan harmonik menggantikan bobot seragam $1/T$ dengan urutan menurun

$\displaystyle w_n = \kiri[\frac1H_N\right]\frac1n \,,\quad\mboxdi mana\quad H_N = \sum_n=1^N \frac1n \,. \ \ \ \ \ (2)$

Angka-angka $H_n$ dikenal sebagai bilangan harmonik. Seperti diketahui, deret harmonik menyimpang, jadi $\lim_n\rightarrow\infty H_n = \infty$ . Diaconis dan Skyrmes (2018) menjelaskan generalisasi dari (2):

$\displaystyle w_n = \kiri[\frac1\zeta_s(N)\right]\frac1n^s \,,\quad\mboxdimana\quad \zeta_s(N) = \sum_n=1^N \frac1n^s \,.$

Untuk $s>1″ class=”latex” />fungsi <img decoding=$ konvergen dengan fungsi Riemann zeta $\zeta(s)$ .

Pada Gambar di atas, kami menunjukkan frekuensi relatif untuk digit pertama dari sebuah angka $D_1=1$ (kurva biru) dan $H_1 = 9$ (kurva merah) untuk $N$ bervariasi dari $1$ ke $5\kali 10^4$ . Hal ini menggambarkan bahwa, untuk $D_1=1$ frekuensi berosilasi antara batas kira-kira $\frac19$ Dan $\frac59$ .

Jika Kalian ingin mencari jawaban lainya, Baca Juga : Aktivitas Plot Semi-Log: Gambar Grafik Misteri

Pada Gambar di bawah ini, kami menunjukkan frekuensi relatif untuk digit pertama dari suatu bilangan $D_1=1$ , di mana rata-rata logaritmik (2) digunakan. Indikasinya adalah frekuensi berosilasi dengan pengurangan amplitudo dan cenderung ke batas sekitar 0,3, sesuai dengan Hukum Benford.

{Kepadatan probabilitas untuk $D_1=1$ dengan probabilitas berbobot harmonis (2).

Distribusi Logaritmik

Kami melihat bahwa frekuensi terjadinya $D$ sebagai digit terdepan mengikuti hukum logaritmik. Tapi dari mana ini berasal? Jika kita menganggap bahwa semua nomor $N$ dalam jangkauan $1 \le n \le N$ mungkin terjadi dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam

$\displaystyle \mathsfP(n) = \frac1N$

tepat. Ini mengarah pada kesimpulan bahwa semua angka desimal harus terjadi dengan probabilitas yang sama $1/9$ (karena nol tidak bisa menjadi digit terdepan). Namun, kami dapat berargumen bahwa angka yang lebih kecil lebih mungkin daripada yang lebih besar dan menetapkan distribusi lain, seperti distribusi logaritmik. Kita ingat bahwa bilangan harmonik asimtotik terhadap fungsi logaritmik $H_n \sim\log n$ . Jadi, untuk perkiraan yang baik, probabilitas bahwa angka yang dipilih secara acak berada dalam kisaran $R \le n \le S$ adalah $\log S - \log R = \log S/R$ .

Sekarang pertimbangkan `dekade’ angka $10^k \le n \le 10^k+1$ . Probabilitas bahwa pilihan acak dalam interval ini adalah $\log 10^k+1-\log 10^k = \log 10$ sedangkan angka dengan digit terdepan $1$ (dalam selang waktu $10^k \le n \le 2\kali 10^k$ ) terjadi dengan probabilitas $\log 2\kali 10^k-\log 10^k = \log 2$ . Dengan demikian, frekuensi relatif bilangan dengan digit terdepan $1$ adalah

$\displaystyle \frac\log 2\log 10 = \log_10 2 \kira-kira 0,3010 \,,$

atau sekitar $30\%$ . Ini adalah kasus khusus Hukum Benford untuk $d=1$ . Kasus yang tersisa dapat ditunjukkan dengan cara yang sama.

Sumber

$\peluru$ Berger, Arno dan Theodore P. Hill, 2015: Pengantar Hukum Benford. Universitas Princeton. Tekan, 248pp. ISBN: 978-0-691-16306-2.

$\peluru$ Deacon, Persi dan Brian Skyrms, 2018: Sepuluh Ide Hebat Tentang Peluang. Universitas Princeton. Tekan, 255 halaman [See Chapter 5].

$\peluru$ Tenenbaum, Gerald, 1995: Pengantar Teori Bilangan Analitik dan Probabilistik. Pers Universitas Cambridge. ISBN 0-521-41261-7.

$\peluru$ Thatsmaths: Berapa banyak angka yang dimulai dengan 1?

Leave a Reply Cancel reply