3-bola: Bentuk Ekstrinsik dan Intrinsik

Hello, Selamat datang di wikitanic.com.

Gambar 1. Kutipan dari makalah Einstein tahun 1917 tentang kosmologi.

Lingkaran dalam dua dimensi dan bola dalam tiga hanyalah dua anggota dari keluarga hiper-permukaan tak terbatas. Dengan analogi dengan lingkaran $\mathbbS^1$ di pesawat $\mathbbR^2$ dan bola $\mathbbS^2$ dalam ruang tiga $\mathbbR^3$ , kita dapat mempertimbangkan hiper-bola di ruang dimensi yang lebih tinggi. Secara khusus, kami akan mempertimbangkan 3-bola yang dapat disematkan di $\mathbbR^4$ tetapi juga dapat dianggap sebagai manifold non-Euclidean dalam $\mathbbR^3$ .

Permukaan Bulat dalam Beberapa Dimensi

Bola satuan adalah himpunan titik-titik dalam ruang yang jaraknya satuan dari titik asal. Kita dapat mendefinisikan bola dalam beberapa dimensi:

$\displaystyle \beginarrayrcl \mbox0-dimensi bola,\ \mathbbS^0 && \ x\in\mathbbR^1 : x^2 = 1 \ \\ \mboxbola 1-dimensi,\ \mathbbS^1 && \ (x,y)\in\mathbbR^2 : x^2+y^2 = 1 \ \\ \mbox bola 2 dimensi,\ \mathbbS^2 && \ (x,y,z)\in\mathbbR^3 : x^2+y^2+z^2 = 1 \ \\ \mboxbola 3 dimensi,\ \mathbbS^3 && \ (x,y,z,w)\in\mathbbR^4 : x^2+y^2+z ^2+w^2 = 1 \ \endarray$

Kita juga dapat mendefinisikan bola satuan yang diperoleh dengan “mengisi” bola. Itu $(n+1)$ -bola adalah kumpulan poin pada atau di dalam $n$ -bola. Dengan demikian,

$\displaystyle \beginarrayrcl \mbox1-dimensional ball,\ \mathbbB^1 && \ x\in\mathbbR^1 : x^2 \le 1 \ \ \ \mboxbola 2 dimensi,\ \mathbbB^2 && \ (x,y)\in\mathbbR^2 : x^2+y^2 \le 1 \ \\ \mboxbola 3 dimensi,\ \mathbbB^3 && \ (x,y,z)\in\mathbbR^3 : x^2+y^2+z^2 \le 1 \ \\ \mboxBola 4 dimensi,\ \mathbbB^4 && \ (x,y,z,w)\in\mathbbR^4 : x^2+y^ 2+z^2+w^2 \le 1 \ \endarray$

Bola 0 hanya terdiri dari dua titik $\-1,+1\$ pada garis yang sebenarnya. 1-bola adalah interval tertutup $[-1,+1]$ . Bola 1 adalah lingkaran satuan di bidang Euclidean $\mathbbR^2$ . 2-bola adalah piringan padat di pesawat. 2-bola $\mathbbS^2$ adalah permukaan bola dalam 3-ruang. 3-bola adalah bola padat di 3-ruang.

Gambar 2. Dua bola 2 (cakram) yang terdistorsi menjadi belahan dapat digabungkan untuk membentuk 2 bola.

Kita dapat menggambarkan 3-bola secara ekstrinsik sebagai hiper-permukaan $\mathbbS^3$ tertanam dalam 4-ruang $\mathbbR^4$ . Jika kita memperbaiki nilai koordinat $w$ kita mendapatkan set $H(w_0) := \ (x,y,z,w_0)\$ . Ini setara dengan 2-bola di penampang 3-dimensi dari $\mathbbR^4$ . Namun, kami juga dapat mengobati $\mathbbS^3$ dan bidang lainnya secara intrinsik.

Membangun Bola dari Bola

Kita bisa membuat bola $\mathbbS^n+1$ dengan mengambil dua salinan dari $n$ -bola $\mathbbB^n$ dan merekatkan batas-batas mereka. Sebagai contoh, kami mengambil dua salinan dari $\mathbbB^1$ , yang masing-masing merupakan ruas garis. Kami mendistorsi mereka untuk mendapatkan dua busur setengah lingkaran, masing-masing memiliki dua titik batas. Kita bisa menyamakan batas menjadi lingkaran $\mathbbS^1$ .

Untuk membentuk 2-bola $\mathbbS^2$ kami mendistorsi dua salinan disk unit $\mathbbB^2$ menjadi topi hemispherical, dan bergabung dengan mereka di sepanjang lingkaran batas mereka, yang kita ambil sebagai khatulistiwa (Gbr. 2).

Naik Satu Dimensi

Melangkah ke satu dimensi, kami mengambil dua salinan $\mathbbB^3$ , yang masing-masing adalah bola dunia padat (Gbr. 3). Jika kita memetakan setiap titik pada permukaan bola kiri ke titik yang sesuai pada permukaan bola kanan, kita memperoleh manifold yang tidak memiliki batas. Ini adalah homeomorfik ke unit 3-bola $\mathbbS^3$ . Itu hanya terhubung, dengan jalur dari titik mana pun di satu bola ke titik mana pun di bola lainnya. Pusat kedua bola dapat dianggap sebagai “kutub” dari manifold ini.

Gambar 3. Dua 3-bola (diisi 2-bola) dapat digabungkan, dengan ‘menempelkan’ batas bolanya bersama-sama, untuk membentuk 3-bola.

3-bola adalah manifold 3-dimensi yang kompak, terhubung, tanpa batas. Ini juga hanya terhubung: setiap loop pada 3-bola dapat terus-menerus menyusut ke suatu titik tanpa meninggalkan 3-bola.

Masalah Milenium

Salah satu Masalah Milenium, Konjektur Poincaré, menyatakan bahwa 3-bola adalah, hingga homeomorfisme, satu-satunya manifold 3-dimensi yang kompak, terhubung secara sederhana, tanpa batas. Dugaan ini dibuktikan pada tahun 2003 oleh Grigori Perelman. 3-bola juga homeomorfik dengan pemadatan satu titik dari 3-ruang, $\mathbbR^3\cup\\infty\$ .

Kosmologi Einstein

Untuk mendapatkan solusi keadaan tunak untuk persamaan relativistiknya, Einstein memperkenalkan istilah yang melibatkan kuantitas yang disebut konstanta kosmologis. Dia kemudian dapat menemukan solusi untuk alam semesta yang terbatas secara spasial. Bentuk topologi ruang adalah 3-bola. Memang Einstein secara eksplisit menulis persamaan

$\displaystyle \xi_1^2 + \xi_2^2 + \xi_3^2 + \xi_4^2 = R^2$

yang menggambarkan 3 bola $\mathbbS^3$ tertanam dalam 4-ruang. Sebuah ekstrak dari kertas 1917 Einstein ditunjukkan pada Gambar. 1 di atas. Pengamatan kemudian menunjukkan bahwa alam semesta tidak dalam keadaan tetap, tetapi mengembang. Dengan memperkenalkan konstanta, Einstein melewatkan kesempatan untuk memprediksi alam semesta yang mengembang menggunakan relativitas umum.

Kemudian dikatakan oleh George Gamow bahwa Einstein menggambarkan pengenalan konstanta kosmologis sebagai kesalahan terbesar dalam hidupnya. Namun, penemuannya bahwa persamaan medannya dapat mengakomodasi istilah yang mewakili tolakan gravitasi sangat mendalam. Konstanta kosmologis sangat penting dalam menjelaskan percepatan ekspansi.

Cuplikan

Jauh sebelum Einstein, atau Gauss, atau Newton, penyair Dante menggambarkan struktur alam semesta, yang berbentuk hiper-bola. Tapi itu cerita lain (yang akan kami ceritakan segera di posting lain).

$\star \qquad \star \qquad \star$

Kursus UCD tentang matematika rekreasi, AweSums: Keajaiban, Kegunaan, dan Kegembiraan Matematikaakan dipresentasikan pada musim gugur ini oleh Prof Peter Lynch — masih ada beberapa tempat, dan pendaftaran dibuka di www.ucd.ie/lifelonglearning

$\star \qquad \star \qquad \star$

Kuliah Berkeley 2022, Universitas Maynooth

“Tingkat Tak Terbatas”

Pembicara: Peter Lynch

Kamis 29 September 2022, 18:30

Teater Kuliah John Hume 4, Kampus Utara

$\star \qquad \star \qquad \star$

Leave a Comment Cancel reply